洪涝灾害三参数损失函数的构建Ⅰ——基本原理

李超超，程晓陶，王艳艳，付德宇

（1.宁夏大学 土木与水利工程学院，宁夏 银川 750021；2.中国水利水电科学研究院，北京 100038；3.宁夏首创海绵城市建设发展有限公司，宁夏 固原 756000）

1 研究背景

在快速城镇化背景下，流域防洪区内人口与资产密度不断提高，与传统农业社会相比较，同等规模受淹条件下，洪涝灾害损失会显著上升。为了保障防洪安全，人们努力构建起综合性的防洪工程体系，并不断提高防洪标准，使防洪标准内的洪涝灾害损失得以有效减轻。然而，一旦发生超标准洪涝灾害，水灾损失会急剧增长［1-2］。构建综合考虑经济发展、防洪排涝能力提高与城镇化影响的流域洪涝灾害损失-重现期关系曲线，有助于合理把握流域洪涝风险的演变趋势，对适时修编流域防洪规划与防汛应急预案，亦可提供参考依据［3］。

现代社会中暴雨洪涝风险特征的变化，受到全球气候变化与城镇化的显著影响［4］，本文主要针对后者展开讨论。Konrad［5］的研究显示，城镇化可导致2、10、100年一遇的洪峰分别增加100%～600%，20%～300%，10%～250%。城市的热岛效应、地形抬升与阻滞作用、气溶胶效应等，会对降雨强度和分布有一定影响［6］。城市聚集了人口与资产，同时也聚集了风险。较未开发前，城镇化区域人口和财产密度增加，洪灾损失会明显增加。城市功能的正常运转对生命线系统（交通、通讯、供水、供电、供气、供油等）的依赖性极大，生命线系统若在关键点或面上因洪涝受损而不能及时恢复，系统内或系统间会形成连锁反应，社会运行就可能处于瘫痪状态，受灾害影响范围远远超出受淹范围，出现灾情蔓延扩展的现象。为此，城市往往会建立起更高标准的防洪排涝工程体系，以有效减轻常遇洪涝的危害。然而，一旦发生超标准暴雨洪涝，损失会急剧上升，呈现出突变特征［7］。例如，日本2000年的名古屋市大水灾，美国2005年卡特里娜飓风和2012年桑迪飓风，巴基斯坦2010年印度河流域大洪水，泰国2011年湄南河流域大洪水，中国北京2012年“7.21”暴雨洪涝灾害，菲律宾2013年的“海燕”台风，都造成了重大的人员伤亡和财产损失［8］。洪涝灾害损失增长与不利影响不断扩大的趋势，不仅取决于受淹区域中人口资产数量、类型与分布的变化，即关乎承灾体的“暴露性”，而且与承灾体自身的脆弱性密切相关。由于城市防洪标准相对较高，超标准洪涝发生的概率较小，人们容易缺乏风险意识与应对经验，风险防范准备不足，加之洪涝特性随下垫面变化而改变，一旦遭遇突发性洪涝灾害，往往损失巨大，间接经济损失甚至远远超过直接经济损失，且对生命线系统的快速恢复提出更高的要求。

目前洪灾损失评估主要是对直接经济损失进行评估。英国洪灾研究中心（FHRC）提出了建筑物水灾脆弱性曲线［9］。德国、澳大利亚等国根据水灾记录，构造出不同建筑物的脆弱性曲线［10］。李纪人等［11］定性给出水深与损失的关系曲线。王艳艳等［12-14］基于洪灾损失调查数据，分类绘制了淹没水深（历时）与工业、商业、家庭财产与工程设施等洪灾损失关系曲线，并构建了上海、太湖洪灾损失评估模型。Yu 等［15］基于蒙特卡洛法绘制了最小、最大和最可能洪灾直接经济损失曲线。从以往的研究中可以得知：随着洪水规模的增长损失会增长，但不是J 型无限增长模式。洪涝灾害重现期与经济损失关系曲线似S 型增长，存在着饱和值。从数学的角度出发，对于变量增长过程呈现出初期较慢、中期迅急、后期再趋缓并逐步趋向饱和的现象，多用S 增长曲线来描述。S 型曲线已成功用于拟合生物、经济等许多领域的变量增长过程［16-17］。实践中已总结出许多著名的S 型曲线，如Logistic 曲线、Gompertz曲线和Richards 曲线等［18］。将S 型函数曲线应用于洪涝灾害风险评估也有先例，陈敏建等［19-20］构建了S 型的水害损失函数，并应用于长江三角洲地区的洪灾损失评估和水利综合效应分析核算。但其函数的构建多基于历史资料，不能充分反映经济增长与工程保护标准提高情况下洪灾损失的演变趋势。

本文基于对洪涝灾害演变趋势的探究，分析洪涝损失随灾害规模（重现期）非线性单调增长、临界激增再趋缓的形态，建立三参数S 型暴雨洪涝灾害损失-重现期曲线。曲线的参数有一定的物理意义，使得风险演变趋势与对应曲线变化有合理解释。利用该曲线可定量地描述洪涝灾害风险的演变过程，找到城市化程度提高、社会经济增长与防洪工程保护标准提高情况下的洪灾风险演变的趋势与拐点，为风险管理与决策提供依据。

2 洪涝风险演变的驱动机制

洪涝灾害风险受孕灾环境、社会经济与防灾能力等多重因素影响，各个驱动因子对风险演变的作用方式和影响程度有所不同，因此对洪涝灾害风险演变趋势的预测具有复杂性和不确定性［21］。根据风险三角形理论［22］，灾害风险由危险性（Hazard）、脆弱性（Vulnerability）和暴露性（Exposure）三边构成。洪涝灾害有别于地震和火山爆发等自然灾害，其发生过程具有一定的可预见性与可调控性［23］，同时针对承灾体的脆弱性与暴露性，也可以采取增强韧性与适应性的措施来减少风险，这就必须要全面加强防灾力（Capacity）的建设［24-25］。

（1）危险性，指致灾因子的活动规模、活动频次与强度。洪水的危险性体现为洪水的突发性、影响范围与持续时间，相应洪峰流量、水位与洪量的重现期，以及受淹的水深、流速与历时等等［26］。洪水不同于地震、台风等灾害的一个特点，是其具有一定限度的可调控性，防洪工程体系的合理布局与优化调度，是减轻洪水危害性的有效手段。但是不当的人类活动，如对森林的乱砍滥伐，对河湖水系的肆意挤占，以及“先地上、后地下”、防洪排涝体系建设严重滞后的城镇化扩展方式等，反而会加重洪涝的危害。（2）暴露性，指可能受到灾害威胁的承灾体类型、数量与时空分布。洪水灾害的暴露性表征为洪水风险区中人口的数量与分布，以及资产的类型、数量、分布和价值［27］。随着社会经济的发展，受洪涝威胁区域中的人口、资产密度均会增大，暴露性往往会随着时间的推移而增长。（3）脆弱性，指一定社会经济条件下，特定区域各类承灾体在遭受不同强度洪水后可能造成的损失程度［28］。随着对脆弱性认识的不断深入，脆弱性从承灾体本身的灾敏性，扩展到灾敏性、应变性和恢复性的综合概念［29-30］。脆弱性受自然、社会、经济、环境、政策和制度等多方面影响，具有多维度的特点［31］。对脆弱性的研究大部分侧重于灾损曲线（物理维度）的研究，但近几年也在逐渐开展脆弱性多维度的研究。物理维度的研究主要集中水灾脆弱性曲线绘制，即通过历史洪灾数据调研或实验研究绘制承灾体在不同淹没水深、流速、历时条件下的损失率曲线。多维度的综合脆弱性可以通过多准则指标评价法进行评估，即选取多维度的指标，进行归类并赋予权重，然后进行综合评估。权重赋值在一定程度上存在主观性。其研究对象不是个别承灾体，而是一定区域范围［32］。（4）防灾力，指区域对灾害的防御能力、减灾能力以及一定时期内能从灾害中恢复的能力。洪水的防灾力包括洪水的监测、预报、预警能力，洪水的工程调控与抗御能力，受灾民众的救援、转移、安置能力，以及灾后快速恢复与更高水平重建的能力等等［33］。受快速城镇化与全球气候变暖的影响，当代社会中洪水的突发性、反常性、不确定性更为凸显，加之以借贷维持生产的经营模式下不可承受的风险增大，提高洪水风险辨识、评估、防范与分担的能力，加快“从减少灾害损失向减轻灾害风险转变”，已成为增强防灾力建设的重大需求。

风险一般表述为危害性事件或趋势发生的概率与这些事件或趋势造成的后果［34-35］。对于洪水来说，常遇洪水发生的概率较大，但造成的损失一般较轻；而稀遇洪水发生的概率很小，但往往造成巨大的损失。显然，洪涝灾害风险不能简单表征为灾害发生的概率与其造成损失的乘积。为此，在对洪涝灾害风险进行量化分析评估前，有必要先对不同规模洪涝灾害的损失与致灾因子强度、承灾体密度、防灾力之间的关系进行定性的分析。

（1）洪涝灾害损失-致灾因子强度。致灾因子涉及灾害事件发生的位置、时间、强度和频次。流域中各场次降雨过程的不同（降雨总量、覆盖范围、持续时间、雨强、雨型与暴雨中心走向等）与下垫面条件的差异，会形成不同规模的场次洪涝。洪涝灾害一般采用暴雨或洪水的重现期作为标识致灾因子强度的指标。随着致灾因子强度增大，洪涝灾害损失往往会增加。如图1所示，仿照生物种群S 型与J 型增长模型，到达某一临界值后洪灾损失可能存在两种趋向：趋于一定限度或者持续增长。有限S 型增长假设：受淹地区经济不发达，农业损失占主导，水灾导致受淹范围内农作物减产直至绝收，水灾损失随着致灾因子强度增加趋于一定限度。J 型增长假设：受淹地区经济发达，社会经济正常运转对生命线系统依赖性大，洪涝灾害一旦超出设防标准，会出现城市水灾连锁性与损失突变性特点，恢复重建费用不断增长。当水灾影响范围不断扩大，资源会因稀缺而发生价值递增，损失值的增长率变大，水灾影响持续扩展。以上两种假设都趋于极端条件，实际上水灾损失与致灾因子强度的关系曲线介于两种假设之间。

（2）洪涝灾害损失-承灾体密度。洪涝灾害经济损失与承灾体密度关系如图2所示。在其他条件不变的情况下，洪灾经济损失随人口与财产密度的增大而增大。社会经济发展，承载体密度增加，损失-致灾因子强度函数曲线会上移，如图3所示。

图1 损失-致灾因子强度关系曲线

图2 损失-承灾体密度关系曲线

图3 经济增长情况下损失曲线变化

（3）洪涝灾害损失-防灾力。洪涝灾害经济损失与防灾力的关系如图4所示。在其他条件不变的情况下，洪灾损失会随着防灾力（抗灾、减灾、救灾能力）的提高而减少。洪涝灾害的风险不能完全避免或消除，当防灾力达到一定程度后，继续提高防灾力所需的投资会大于可能减少的水灾损失。防洪工程如堤防、海塘等都具有一定的设计防洪标准，在防洪工程防灾能力范围内损失显著降低，一旦洪水水位漫过岸堤或海塘，或发生堤坝溃决，损失会急剧上升。若采取监测、预报、调度等综合防洪措施，水灾损失增长率会有效减缓。如图5所示，单一防洪工程，在防洪标准以内损失会有效降低，当发生超标准暴雨洪水，损失会急剧增长。如果采用综合防洪排涝减灾措施，遭遇超标准暴雨洪水时，损失曲线增长率会有所减缓。

图4 损失-防灾力关系曲线

图5 不同防洪工程体系下损失曲线变化

3 风险函数的构建

3.1 损失-重现期风险函数的特性选取能够反映致灾因子强度的指标——重现期（Return period）作为自变量，洪涝灾害损失（Damage）作为因变量。随着致灾因子的增强，洪灾损失增长，且呈S 型。对于承灾体本身而言，具有一定防御能力和恢复能力。小量级的洪水，由于承灾体的防御能力，灾害的发展得到一定的阻滞，灾害损失增长缓慢。当洪水规模超过承灾体的防御能力，损失表现出突变性，快速增长。同时，承灾体具有一定的恢复力，洪灾损失不会无限增长。对于变量增长过程呈现出初期较慢、中期迅急、后期再趋缓并逐步趋向一定限度的现象，多用S 增长曲线来描述（图6）。

图6 S 型洪涝灾害风险函数

图7 S 洪涝灾害风险函数一阶与二阶导函数

如图6所示，该S 型D-R 函数曲线应该具有如下性质：（1）D-R 曲线是连续增长的；（2）存在转折点C。如图7所示，对这个S 型函数求其一阶与二阶导函数。一阶导函数的最大值，其横坐标为Rc，对应风险函数上的点C，此处斜率最大。二阶导函数极值的横坐标为Ra和Rb，对应着风险函数上的点A 和点B，称之为风险快速增长的起点与止点。A、B、C 3 点将风险函数分为4 段，对应4 个风险级别：小、中、大和特大。

3.2 参数物理意义与确定方法S 型洪涝灾害风险特性D-R 函数曲线有3 个控制性参数，这3 个参数与社会经济状况、防洪工程标准和区域综合脆弱性相关。假设这个转折点C 的纵坐标为临界损失Dc，它与社会经济相关。转折点C 的横坐标为临界重现期Rc，它与防洪工程体系标准相关。决定转折点斜率大小的控制参数，称之为区域脆弱性综合指数k，它与区域内承灾体的脆弱性相关，k 越大曲线越陡，洪灾损失突变性就越显现。

模型参数可以通过拟合、经验判定、实验模拟等方法确定。拟合法是通过历史灾害数据或者仿真模拟结果作为样本进行曲线拟合，确定参数。经验判定法则是通过对大量洪涝损失的感性认识和理论研究，人们能够对研究区域的防洪标准，损失函数转折点对应的损失值做出经验判定，从而确定参数。实验模拟法是通过实验，观测损失的变化，确定参数，该方法受实验条件限制。

3.3 函数的选择选取合适的数学表达式来拟合S 型洪涝灾害风险特性曲线是研究的关键一步。本文选取常见的三种S 曲线函数：Boltzmann 函数、Logistic 函数和Gompertz 函数。Gompertz 函数是统计学家Gompertz 于1825年提出的，Logistic 函数是生物数学家Verhulst 于1838年研究人口增长提出的，Boltzmann 函 数 是1879年 物 理 学 家Boltzmann 基 于Logistic 函 数 提 出 的S 型 增 长 函 数［36-37］。Boltzmann 函数表达式为：

式中：x 为自变量；y 为因变量；A1、A2、c、k 为待定参数。

由于需要构建的是三参数函数，该式需进行简化，当A1=0 时，该式简化为，称之为Boltzmann 简化式。当A2=0 时，该式简化为，也就是Logistic 函数。选取的三种函数表达式及其特征见表1。

表1 三种S 曲线函数的表达式及基本特征

上述3 种函数曲线的基本形态见图8，参数取A=1，c=0，k=0.5。这3 类S 形曲线都是单调递增函数，且存在唯一拐点（x0，y（x0）），饱和值为A。当x＞x0时曲线上凸，当x＜x0时曲线下凹。对3 种S 型风险函数的特点进行比较：当拐点的横坐标一致都为x0时，Boltzmann 函数与Logistic 函数的拐点位置是一样的，均略高于Gompertz 函数的拐点。以Logistic 函数为例，y（x0+x）-y（x0）= y（x0）-y（x0-x），说明Logistic 函数以拐点对称。同样方法可知，Boltzmann 函数也以拐点对称，而Gompertz 函数不具有该性质。

图8 三种S 曲线函数基本形态

通过变换就可构建洪涝灾害风险特性函数。函数的自变量设定为暴雨或洪水重现期R，因变量设定为损失D，转折点C 的横坐标为临界重现期Rc，纵坐标为临界损失Dc，该点处斜率最大，设定为区域脆弱性综合指数k。

Boltzmann 函数拐点横坐标为（c，A/2）。将自变量R 与因变量D，曲线的拐点（Rc，Dc）等约束条件代入，函数转换为：

同理，Logistic 拐点为（c，A/2），变换后的洪涝灾害风险函数为：

Gompertz 拐点为（c，A/e），变换后的洪涝灾害风险函数为：

4 风险函数的应用

4.1 风险分级与减灾对策的制定对应图6中的点A、B、C，可将风险函数分为4 段，对应的横坐标被分成了4 个风险级别：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅴ级，分别对应小、中、大和特大影响。风险分级可用于风险管理策略的制定。表2为风险分级的依据，不同风险级别，其影响不同，需要采取的应对策略也不同。

表2 风险分级

表3 风险分级与应对策略

如表3所示，不同风险级别，应采取不同减灾对策。转折点C 对应着临界损失Dc和临界重现期Rc。临界损失Dc与社会经济指标相关，临界重现期Rc与防洪标准相关。Bruijn［38］将研究区域的综合防洪能力可分为防御性（Resistance）能力和恢复性（Resilience）能力。在防洪标准以内的称之为防御性能力，超过防洪标准的称之为恢复性能力。防御性能力旨在调控洪水，而恢复性能力旨在减少损失。防御性能力主要包括一些控制性工程措施，如修建水库、泵站、水闸等。恢复性能力是减少洪灾的影响，并恢复至从前或达到新平衡的能力，更重视适应性和恢复性措施，如避险转移、灾后重建等。在防洪标准之内，防洪工程体系正常运转，控制性措施占主导。应对超标准洪水时，情况可能会失控，受淹难以避免，突显出综合性防洪工程体系建设的必要性。需要加强恢复性能力建设，包括风险评估、防汛演练、应急响应、转移安置与生命线系统快速恢复等方面。

4.2 防洪减灾效益的评估期望年平均损失（Expected Annual Damage，EAD）因综合考虑了各典型重现期洪水可能造成的损失，能够反映区域经济社会发展对灾害风险变化的影响，是学者广泛用于表达洪涝灾害风险的一般形式［39-41］。EAD 的表达如下：

式中：EAD 为期望年平均损失；D（p）为洪灾损失；p 为洪灾发生的可能。

防洪工程的经济效益指修建防洪工程后减小的水灾风险。洪水的发生具有随机性一般选取多年平均洪水损失来评估防洪工程减灾效益。最常见的防洪工程减灾效益评估方法是洪灾损失-频率曲线法。计算公式如下：

式中：EAB 为期望年平均效益；EADb为采取工程措施之前的洪水期望年均损失；EADa为采取工程措施之后的期望年均损失。

本文将洪涝灾害损失-重现期（D-R）曲线作为风险的表达形式，用重现期R 替代频率p，p=1/R，p∈（0，1），R∈（0，∞），那么风险的表达可转换为：

选取洪涝损失-重现期曲线来计算工程防洪减灾效益，其公式可以转换为：

式中：Db（R）为采取工程措施之前的损失-重现期关系曲线；Da（R）为采取工程措施之后的损失-重现期关系曲线［42］。

图9 减灾效益

洪灾损失-重现期函数可以对研究范围内的单一防洪工程和综合防洪工程体系的防洪减灾效益进行评估。图9提供了这两种情况的减灾效益示意图，单一防洪工程，遭遇超标准洪水时，洪灾损失会急剧增长。例如堤防工程，一但发生漫溢或溃堤，堤岸后被保护对象会受淹，损失会急剧增长。综合防洪工程体系，遭遇超标准洪水时，损失增长会有所减缓。综合防洪工程体系包括工程措施和非工程措施。比如构建监测预警体系，提前转移人口及财产，以及受损生命线系统的快速修复运行等，都有助于减少人员伤亡和洪灾损失。

5 结论

洪涝灾害风险受自然、社会与经济等多因素影响，各个驱动因子对风险演变的作用方式和影响程度有所不同，因此风险演变趋势具有复杂性和不确定性。在城镇化程度加快，社会经济增长，防洪排涝工程标准提高背景下，洪涝灾害风险的演变趋势发生了变化，洪灾风险的评估与预测应考虑这些因素的影响，并根据这种变化对现状及未来的洪水风险管理策略做出相应调整。理论分析结果表明：（1）洪涝灾害损失-重现期风险函数是连续增长的S 型曲线且存在饱和值和转折点；（2）损失-重现期函数的3 个重要参数分别为：临界洪灾损失值Dc、临界重现期Rc和区域脆弱性综合指数K；（3）洪涝灾害损失-重现期风险函数能够客观地反映风险的演变规律，可用于洪灾损失的评估与预测，也可应用于洪涝灾害风险分级与减灾效益评估。

受篇幅限制，实例研究将在下篇中给出。