区间二型模糊逻辑系统质心降型及加权Nie-Tan算法*

陈 阳，王 涛

(辽宁工业大学理学院,辽宁 锦州 121001)

1 引言

近年来，发展和丰富区间二型模糊逻辑系统理论[1,2]并将其进行实时应用受到较多的关注。与传统的一型模糊集相比，区间二型模糊集可以更好地建模并降低不确定性带来的影响。最近的理论和应用研究也证实了区间二型模糊逻辑系统[3 - 7]在处理不确定性方面比相应的一型模糊逻辑系统具有优势。区间二型模糊逻辑系统由模糊器、规则库、推理机、降型器和解模糊器组成，如图1[3,4]所示。其中，在推理机引导下的降型器在系统中起着很重要的作用，其主要功能是将二型模糊集转变成一型模糊集。涉及降型运算的区间二型模糊逻辑系统比相应的一型模糊逻辑系统复杂。

Figure 1 An interval type-2 fuzzy logic system图1 1个区间二型模糊逻辑系统

Mendel教授[8]提出了KM(Karnik-Mendel)算法来计算区间二型模糊集的质心或完成区间二型模糊逻辑系统降型。通常，KM算法需要2～6次迭代达到收敛。为了提高收敛速度和减少计算消耗，Wu等[9]提出了EKM(Enhanced Karnik-Mendel) 算法。大量仿真研究结果表明：与KM算法相比，EKM算法平均可节省2次迭代，从而减少不少于39%的计算时间。以上2种算法被称为KM类算法。另一类算法不需迭代而直接计算出区间二型模糊逻辑系统的输出，它们比迭代类算法计算速度快，更适合于实时应用，如NT(Nie-Tan)算法[6,10]、BMM(Begian-Melek-Mendel)算法[11]、UB(Uncertainty Bound)算法[12]等，其中NT算法在最近被证明为KM算法的零阶估计[8,13]，即用NT算法的计算结果来估计KM算法的结果是较合理的。

受到文献[6,10,14-18]的启发，本文比较了离散版本的NT算法的求和运算和连续版本的NT算法的求积分运算，结合数值积分技术中的牛顿-柯斯特求积公式(Newton-Cotes quadrature formulas)将NT算法扩展成加权NT WNT(Weighted NT) 算法。在计算区间二型模糊逻辑系统的质心降型时，所提出的WNT算法比NT算法准确，而NT算法只是WNT算法在权重为常值时的一种特例。

2 区间二型模糊逻辑系统

从结构上考虑，一般认为区间二型模糊逻辑系统分为Mamdani型[3]和TSK(Takagi Sugeno Kang)型[19]。不失一般性，这里考虑一具有p个输入x1∈X1,…,xp∈Xp和1个输出y∈Y的Mamdani型区间二型模糊逻辑系统，其中,Xi(i=1,…,p)和Y分别为语言变量xi和y的论域，第l条模糊规则有如下形式：

推理过程如下：

对每条模糊规则，首先计算激发区间Fl(x′),当x=x′时，

(1)

(2)

其中,*也表示取小或乘积t-范运算。

(3)

(4)

3 WNT算法

3.1 牛顿-柯特斯求积公式

数值积分用一些离散节点上的函数值f(xi)的线性组合来近似估计定积分。

定义1(数值积分) 假设a=x0

w0f(x0)+w1f(x1)+…+wNf(xN)

(5)

满足性质：

(6)

下面给出的复合梯形法则、复合辛普森(Simpson)法则和复合辛普森3/8法则分别以直线、二次多项式函数和三次多项式函数来估计被积函数f(x)。

(7)

若f在区间[a,b]上是二阶连续可导的，则误差项:

其中a<ζ

(8)

若f在[a,b]上是四阶连续可导的，则误差项:

其中a<ζ

(9)

若f在[a,b]上是四阶连续可导的，则误差项：

其中a<ζ

3.2 NT和CNT算法

类似于连续版本的KM CKM(Continous KM)[17]或EKM CEKM(Continous EKM)[16]算法，连续NT CNT(Continous NT)算法[6]可用来研究区间二型模糊逻辑系统降型和解模糊化 (或区间二型模糊集质心) 计算的理论性质,且该算法被证明为准确的质心降型算法。这里应指出，假设区间二型模糊逻辑系统的输出集已知(通过模糊推理过程得出)，那么求质心降型即相当于求区间二型模糊集的质心。

(10)

CNT算法可计算区间二型模糊集质心为：

(11)

3.3 WNT算法

以3.1节和3.2节为基础，本节提出一类新的NT算法，称为加权NT算法—WNT算法，即:

(12)

其中，yWNT为质心输出解模糊化值，wi为权值。

WNT可看成CNT的数值实现。NT算法在离散版本下的求和运算在连续版本下换成了求定积分运算，即在NT中离散节点xi的求和运算起到了相关函数积分的作用。根据式(6)为每个离散节点xi的隶属函数赋予相应权重wi，则可更加准确地计算出输出值，而NT算法只是在系数权重wi=1(i=1,2,…,N)时的WNT算法的1个特例。

Table 1 Weights assignment methods of WNT algorithms表1 WNT算法权重分配方法

在表1中，采用式(7)～式(9)按下列步骤分配除NT算法外其余3种WNT算法的权重：

(1) 用xi(i=1,…,N)，其中，x1=a，xN=b取代式(7)中的xi(i=0,1,…,m)，其中，x0=a，xm=b;式(8) 中的xi(i=0,1,…,2m)，其中，x0=a，x2m=b；和式(9)中的xi(i=0,1,…,3m)，其中，x0=a，x3m=b。

(2) 式(7)～式(9)中的系数(分别为h/2，h/3，3h/8)被式(11)中2个积分间的商运算抵消掉。

(3) 表1中分别赋予TWNT和SWNT的权重值为式(7)和式(8)括号中系数的1/2，赋予S3/8WNT的权重值为式(9)括号中系数的1/3。

(4) 对于SWNT和S3/8WNT，其采样点的个数N不仅限于N=2n+1和N=3n+1,n为任意非负整数。

最后可总结出CNT和WNT在计算完成区间二型模糊逻辑系统的质心降型和解模糊化时具体联系为：

(1) WNT算法是基于采样数据xi(i=1,2,…,N)上的求和运算来求质心值。而CNT算法应用积分运算求质心值，可近似认为它们计算取得区间二型模糊集质心的准确值。理论上说，当采样点个数N→+∞时，WNT算法的解趋于CNT算法的。

(2) 当增加采样个数时，WNT算法会得到更准确的计算结果。

(3) WNT算法是以求和运算完成数值计算，而CNT算法是以求积分运算完成象征性的计算。可以把WNT算法看成运用数值积分方法的CNT算法的数值实现。

4 仿真

假设在进行降型和解模糊化过程前，所描述的区间二型模糊逻辑系统的最终输出区间二型模糊集的足迹不确定性FOU(Footprint Of Uncertainty) 已通过模糊规则合并或加权和等模糊推理运算[21]取得。在第1个例子中，整个FOU由分段线性函数[16]所限定。在第2个例子中，FOU的上边界是分段高斯隶属函数，下边界是分段线性函数[22,23]。在第3个例子中，FOU完全由高斯隶属函数[16]组成。表2和图2给出了3个例子所定义的FOU相关隶属函数表达式及其图形。

Table 2 FOU membership function expressions of three examples表2 3个例子的FOU隶属函数表达式

Figure 2 FOU graphs of three examples图2 3个例子的FOU图

Figure 3 Computational results of example 1图3 例1的计算结果

Figure 4 Computational results of example 2图4 例2的计算结果

Figure 5 Computational results of example 3图5 例3的计算结果

观察图3～图5以及表3，可得出：

(1) 4种WNT算法的绝对误差都收敛。在例1中，NT和TWNT算法获得最小的绝对误差和变化幅度，SWNT算法取得最大绝对误差和变化幅度，而S3/8WNT算法得到较小的绝对误差和变化幅度。在例2和例3中，本文提出的3种WNT

Table 3 Average of relative errors表3 相对误差的平均值

算法的绝对误差都小于NT算法的，且收敛速度也快于NT算法的。

(2)NT算法的最大平均相对误差为0.062 920%，而WNT算法的最大平均相对误差为0.002 766%。NT算法的总平均误差为0.025 564%，而WNT算法的最大总平均误差为0.001 543%。

(3) 从以上分析可知，恰当地选择WNT算法，可取得优于NT算法的计算精度和误差稳定性。

Figure 6 Comparisons of computation times for four types of algorithms图6 4种算法的计算时间比较

为了取得更好的实时应用，下面研究上述算法的计算时间 (其取决于具体的软件与硬件环境，计算结果是不可重复的)。仿真平台为E5300@2.60 GHz和2.00 GB内存的双核CPU的戴尔台式机，Microsoft Windows XP Professional操作系统。在Matlab 2013a下编程，图6所示为采样值个数N=50∶50∶4000时的算法总计算时间。

总的来说，尽管NT算法的计算速度快于WNT算法，但TWNT算法与NT算法的计算速度几乎相同。4种算法计算速度的大小关系为：NT>TWNT>SWNT>S3/8WNT。由于不涉及迭代过程，权重分配越简单的算法计算速度越快。利用本文所提出的算法可研究区间二型模糊逻辑系统的降型及解模糊化。若只考虑计算准确度，从表3可知，3种WNT算法均强于NT算法，其中TWNT算法是最好的选择。

最后特别指出，本文的研究只关注NT算法和WNT算法的理论表现。从仿真例子可得出，当使用较多个数的采样点时，WNT算法与NT算法相比，在计算准确度上有一定的提高。尽管如此，倘若对计算准确度要求并不高，简单的NT算法便可得出好的效果，WNT算法就无法体现其优势了。

5 结束语

本文比较了离散版本和连续版本的NT算法，利用数值积分技术中3种加权赋值方法将NT算法扩展成WNT算法。当区间二型模糊逻辑系统采用质心降型时，系统的输出集的FOU已确定，此时可用连续版本的降型算法完成降型过程。仿真例子中分析和说明了算法的计算准确度和计算时间。在取相同主变量采样率时，与NT算法相比，WNT算法具有更小的绝对误差，且TWNT算法与NT算法有几乎相同的收敛速度。

在以后工作中，将基于本文和文献[6,16,22-23]进一步研究基于降型算法设计区间或广义二型模糊逻辑系统的质心降型和中心集降型[13,24-26]，基于优化算法[3,4,27-29]的区间或广义二型模糊逻辑系统在预测和控制等领域中的应用。