分组分解法：从局部分解到整体分解

朱坤燕

我们在“整式乘法与因式分解”这一章中，学习了提公因式法和公式法这两种因式分解的方法。但在因式分解時，有些代数式不能直接采用提公因式法和公式法，这时我们可以考虑尝试采用分组分解法。

分组分解法，顾名思义，就是将代数式分成若干组，先将各组分别分解，再对整体进行综合分解。分组时要注意：分组后的各组代数式能进行因式分解，在各组分别分解因式后，能用提公因式法、公式法等方法完成对整个多项式的因式分解。

例如，因式分解：ac²+bd²-ad²-bc²。

将原式分为两组：

原式=（ac²-bc²）+（bd²-ad²），

分组分解（提公因式）：

原式=c²（a-b）+d²（b-a），

整体分解（提公因式）：

原式=（a-b）（c²-d²），

公式法分解：

原式=（a-b）（c+d）（c-d）。

由此可见，第一步“分组”尤其重要。若分组不恰当，就无法进一步分解。当然，分组的方法并不唯一。常见的分组方法有以下几种：

一、按字母分

将带有相同字母的单项式分为一组。例如，ax-by+ay-bx可分组为（ax+ay）-（bx+by）或（ax-bx）+（ay-by）。方法不唯一，只要保证分组后可提公因式就行。

二、按公式分

将能够使用公式法的多个单项式分成一组。例如，x²-2xy+y²-1可分组为（x²-2xy+y²）-1，先使用完全平方公式，再使用平方差公式进行因式分解。

三、按次数差值分

有时，分组后，每组每项的相同字母的次数差值相同。例如，a⁵-a⁴-a+1可分组为（a⁵旷-a⁴）-（a-1），每组每项的次数差为1;或（a⁵-a）-（a⁴-1），每组每项的次数差为4。接下来提公因式或运用公式法分解彻底。

总之，分组分解法的分解对象是无法直接提公因式或无法直接使用公式法分解的含有多个单项式的代数式。分组的目的是分组后可提公因式或使用公式法分解。这在多项式的因式分解中是一种常用的方法。

（作者单位：江苏省苏州外国语学校）