一类两体量子态的量子失谐解析解

梅克辉，乔龙坤，胡晓莉

（江汉大学 数学与计算机科学学院，湖北 武汉 430056）

0 引言

量子纠缠是量子力学区别于经典力学最不可思议的特征，它以其独特的物理性质使量子信息突破经典信息的极限，因此量子纠缠成为了量子信息处理和量子通信的关键资源之一。随着学者在量子信息研究上的不断深入，他们发现量子纠缠并不能包含所有的量子关联。让人意想不到的是，这种量子态之间非纠缠的关联给量子信息带来了更大的优势［1］。为此，引入量子失谐来描述相互作用的量子系统间量子相关的全部信息。目前，关于两体量子态量子失谐的计算主要集中在比较经典的两体X- 态上［2-9］。最近，有学者给出了秩为2 的两体量子态的解析解［10］，但是对于秩大于2 的两体非X- 态还是很难给出解析解，其研究结果甚少。笔者讨论了一类非X- 态的量子失谐的计算，并给出其解析解。下面先简单介绍其量子失谐相关的基本定义。

对于a⊗b空间上的一个两体量子态ρa⊗b（简记为ρ），其量子交互信息定义为

式中，S(ρ)= -Trρlog2(ρ)为量子态ρ的冯·诺依曼熵，ρa(ρb)表示ρ在a(b)空间上的偏迹态。2001 年，Olliver 和Zurek［3］提出了利用密度算子的条件熵来测量多个量子态之间的经典关联，这里所用的测量为经典的冯·诺依曼测量。冯·诺依曼测量即为满足条件的测量集{Bk|k= 1,2}。当冯·诺依曼测量作用在两体量子态ρ的b子系统上时，得到a子系统上的两个条件密度算子为

式中，pk=Tr(I⊗Bk)ρ(I⊗Bk),(k= 1,2)，为ρk出现的概率。对量子态ρ的b子系统进行冯·诺依曼测量后的条件熵为

其条件量子交互信息为

从而经测量后的两体量子态ρ的经典关联为

定义［3］：两体量子态ρ的量子失谐为经典量子交互信息与经典关联的差，记为

若考虑选取Hilbert 空间C2⊗C2的一组基为则任意一个两体量子态均可表示为［11-12］

式中，I为 2× 2 的单位矩阵，σi(i= 1,2,3)为 Pauli 矩阵（5）式中量子态ρ进一步经合适的局部酉变换，则ρ有如下等价的Bloch 球面表示［4］

因其密度矩阵除对角线外，其他元素全为零，故称其为X- 型量子态，其量子失谐为［4］

式中，c= max {|c1|,|c2|,|c3|}。

当r1=r2=s1=s2= 0 时，（6）式中的态为

此时，量子态ρ被称为推广的X- 型量子态，其量子失谐的解析解在文献［13］中已给出。

1 r2=r3=s2=s3=0时的非X-型量子态的量子失谐

本文将给出参数r2=r3=s2=s3= 0 时，量子态ρ的量子失谐的解析解。此时

由ρ的正定性可知λi≥ 0,(i= 1,2,3,4)，从而

由以上不等式可知，（7）式中的ρ可被定义在R5的一个封闭区域上，记为R(ρ)。它的边界满足以下约束条件的边界同时也被包含在如下的超平面内：

为了计算交互信息I(ρ)，我们需要先计算ρ的两个边际态：

从而由（1）式，可得ρ的量子交互信息为

接下来，引入冯·诺依曼测量来计算经典关联C(ρ)的值。已知任何一个针对两体态的冯·诺依曼测量都可以写成形如的张量积形式，其中V为2× 2 的酉矩阵。选取矩阵I,σ1,σ2,σ3为2 阶酉矩阵构成的酉空间的一组基，则矩阵V可表示为这组基的线性组合，即这里V满足下列对称式：

由于V+σiV落在三维单位球面上，因此可引入新变量z1,z2,z3，且令

通过计算可得，

接下来求maxG(θ,z1)解析表达式。由（12）式，易验证G(θ,z1)为z1的一个偶函数，那么只需要考虑z1∈[0,1]时G(θ,z1)的最大值。先求函数G(θ,z1)对θ的偏导数，其结果如下：

可知，上式恒大于零。因此，G(θ,z1)关于θ是一个严格单调递增的函数。为了求G(θ,z1)的最大值，最理想的方法是将二元函数G(θ,z1)变为单变量函数。由此，可对θ做如下处理，

下面分两种情况讨论G(θ,z1)的最大值，从而求出Q(ρ)的解析解。

1）当 |c1|≥ |c|时，θmax=此时z1= 1，

此时，ρ的量子失谐为

2）当 |c1|＜ |c|时，θmax=c2，此时z1= 0，则

此时，ρ的量子失谐为

例：当r1= 0.3,s1= 0.7,c1= 0.1,c2= 0.2,c3= 0.3 时，ρ的矩阵形式为

其特征值为λ1= 0.526 2，λ2= 0.385 1，λ3= 0.064 9，λ4= 0.023 8。由|c1|＜ |c|，则θmax=c2=0.09，则Gmax=Gz1=0=0.134 1。由（15）式，可得Q(ρ)= 0.007 8。

2 结语

量子失谐是衡量两体量子态之间不可缺少的量子关联之一。对于任意两体量子态，其量子失谐的计算是相当不容易的一项工作，而给出其解析解更是一件困难的事。本文在考虑r2=r3=s2=s3= 0 这类带5 个参数的量子态的量子失谐时，发现其解析解的求法与两体X- 态的求法基本上是一致的。事实上，对（6）式中带9 个参数的一般两体量子态而言，其特征值的根式表达式往往非常复杂，没有简洁的解析表达式。因此导致其很难求出一般两体态的量子失谐的解析式。但是对一个确定的不带参数的量子态，其密度矩阵为四阶正定矩阵，总是能求出其确定的特征值，从而能求出（1）式中确定的量子交互信息的解。在求经典关联时，用笔者的方法，将多变量函数化成单变量函数后再讨论其最值，总能求出冯·诺依曼测量集下（2）式中条件信息的最大值。从而可给出一个已知量子态的量子失谐的解析解。