小学数学教师培养学生数学思维的教学准备

【摘 要】“培养学生的数学思维”既是数学教育的应有之义，更是数学课堂教学的应然追求。因此，要想使这“应有之义”真正转变成“实有之是”，“应然追求”切实转变成“实然状况”，小学数学教师就要在知晓“何为数学思维”的基础上，做好以下几项功课或准备工作：深刻领会“数学课标”中的课程目标，努力提炼教材内容所蕴含的数学思维，真正聚焦数学知识所蕴含的数学思想，灵活运用儿童数学思维发展的一般规律。

【关键词】数学思维;课堂教学;教师准备

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2020）89-0007-05

【作者简介】徐文彬，南京师范大学（南京，210097）课程与教学研究所常务副所长，教授，博士生导师，主要研究方向：课程与教学基本理论，中小学数学教学。

“小学数学课堂教学要培养学生的数学思维”，毫无疑问，应该是小学数学教育的应有之义，也应是小学数学课堂教学的应然追求。那么，什么是数学思维呢？小学数学教师又需要做好哪些功课或准备工作呢？

一、什么是数学思维

思维指的是“人们的理性认识活动”。思维“作为对客观存在、物质及其规律性的反映”，它是“以概念、判断、推理、假说和理论等形式，反映客观世界的能动的过程”。因此，从哲学认识论的视角来看，数学思维应该是指，人们借助数学概念、判断或命题、推理、假说和理论等形式，对客观世界的量（包括数与形两个层面）的这一侧面及其规律性的理性的和能动的认识过程与活动。

鉴于数学思维对象的“客观世界的量”这一独特性，数学思维具有抽象性、建构性和过程的二重性，以及结果的双重性。具体而言，其思维的抽象性是指，数学思维之抽象的间接性、结果的多样性和某种程度上的“任意性”（思想的自由创造）;其思维的建构性是指，相较于“客观世界的量”而言，数学思维之对象的“思想建构”（数学的对象是思想事物）或“形式建构”（数学的对象也是形式符号）;其思维过程的二重性是指，就实际发生的数学思维活动而言，不仅存在着由“非形式”到“形式”的过渡（抽象或概括）过程，同时也存在着由“形式”到“非形式”的“具体化”（表象和直觉）过程;其思维结果的双重性是指，不论是数学的陈述性知识还是数学的程序性知识，其实质上都包含着对象和过程这两个层面。

由此可见，“小学数学课堂教学要培养学生的数学思维”这一应然追求并非易事。因此，小学数学教师要想在课堂教学中真正培养学生的数学思维，而不是仅仅传授数学知识与技巧，就应该至少要做好以下几项功课或准备工作，其中深刻领会“数学课标”中的课程目标，应该是开展“小学数学课堂教学要培养学生的数学思维”活动的首要任务。

二、深刻领会“数学课标”中的课程目标

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，数学课程的总目标是，“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验;体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力;了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度”。而且还从知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等四个方面给予了具体阐述。

其实，上述总目标和具体阐述可以概括为“四基”“四能”和“必备品格”（或情感态度），而其中的数学思考和问题解决则是其核心。因为，如果没有这贯穿“数学的过程与方法”始终的数学思考和问题解决，那么，所谓的“四基”就是僵硬的死知识，“四能”就是某些程序的机械模仿甚至机械套用，而所谓的情感态度或“必备品格”则必定是虚假的替代表演。而数学思考和问题解决的核心就是上述所明确的数学思维，即借助数学概念、判断或命题、推理、假说和理论等形式，对客观世界的量（包括数与形两个层面）的这一侧面及其规律性的理性的和能动的认识过程与活动。

因此，深刻领会“数学课标”中的课程目标，即数学课程的育人价值，就其实质而言，就是培养学生的数学思维，是“小学数学课堂教学培养学生数学思维”的极其必要的前提条件，也是极其重要的“政策”依据或保障。而培养学生的数学思维则是培养或提升其数学核心素养的必由之路。所以，努力提炼教材内容所蕴含的数学思维，应该是开展“小学数学课堂教学培养学生数学思维”活动的核心任务。

三、努力提炼教材内容所蕴含的数学思维

小学数学教材内容主要包括“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等内容。而“数与代数”的整合，不仅是算术知识和代数知识的简单合并，更是算术思维和代数思维的有机融合。

算术思维的核心是程序或步骤及其遵守或运用，其思维目的是求得一个结果（数字），所以它是程序思维;而代数思维的核心则是关系及其转换，其思维目的是寻求各种数量关系之间的转变或转化，所以它是关系思维。但是，由于关系思维比程序思维对学生心智发展的成熟水平要求要高许多，所以直接在小学引入甚至渗透大量的代数内容可能是不可取的，也是行不通的。因此，可行的滲透方式应该是能够兼顾算术的程序思维和代数的关系思维的综合方式，而“准变量思维”的引入便是这种渗透方式。

所谓准变量思维，其实质就是把“常数”视为“变量”，进而把数量关系视为是变量之间的关系，并以此来引导学生“在算术中学习代数”（也在代数中运用算术）。因为，代数就是字母（变量）的算术，而算术则是数字（常量）的代数。譬如，21-9 = 21-10+1（=11+1=12）就蕴含着这样一个代数恒等式：a-b=a-（b+1）+1，而前者则可看作是后者的一个特例。其实，小学数学中存在着大量的准变量及其思维。譬如，各种竖式计算的横式改写就是例证，如32×13=32×3+32×10（=96+320=416），而32×3=2×3+30×3（=6+90=96），它们都是运用运算律的恒等变换。因此，准变量思维的引入可望打通算术学习和代数学习之间的障碍。

“图形与几何”的整合，不仅是立体几何和平面几何的简单联手，更是综合几何（强调几何直观）和分析几何（强调几何推理）的相互渗透。

譬如，“图形认识”一般包含直观认识概念、定义、构成要素、特点、关系等五个维度。但是，小学阶段的图形认识的教学实践却主要集中于前三个维度，却较少涉及后两个维度。其实，关于“图形认识”的前三维度（几何直观为主）的教学也可渗透后两个维度的几何推理。譬如，关于“多边形内角和的命题”的学习，就可以引导学生依据“三角形内角和等于180°”来进行推导（多边形划归为三角形的方式多种多样）;“三角形的任意两边之和大于第三边”的推导则可以引导学生通过运用“两点间的距离线段最短”这一公理来学习;而“正方形是特殊的长方形”的学习，如果不通过“长方形的一般定义”和“正方形的定义”之间的逻辑关系来学习，将是无法理解的。

“统计与概率”的整合，不仅是统计过程（强调统计方法与技巧）与可能性（强调随机观念）的简单嫁接，而是内蕴随机观念的统计活动。因此，统计思维的培养就应该依据统计活动的过程结构（参见图1）来谋划、设计和开展，不能“掐两头、烧中段”。

但是，现实的小学数学“统计与概率”的教学多是只关注“中段”，而较少涉及“问题与目的”“判断与决策”。所以，其教学效果并不理想，更无法培养学生的统计思维，亟须改变。因此，上述“统计活动的过程结构”的提出可望有助于这种改变的落实。

如果不借助于数学知识与技能，则数学思维无法彰显其“认识世界和改造世界”的强大的功效;如果没有数学思想的统领，则数学知识与技能将不成体系，并因此有碍数学思维功效的发挥;而如果没有必要的数学基本活动经验，则数学知识与技能的获得与运用都将受到极大的限制。所以，真正聚焦数学知识所蕴含的数学思想，应该是开展“小学数学课堂教学培养学生数学思维”活动的重要任务。

四、真正聚焦数学知识所蕴含的数学思想

“新课改”近20年来，我国小学数学课堂教学把“数学思想方法”的学习作为教学要点甚至重点，几乎已经是不争的事实。但是，由于理解上的偏差，实际的效果可能是，数学方法得到了强化，而数学思想却没有受到足够的重视。

其实，数学思想方法是一个有机整体。数学思想是统摄其相应数学方法的灵魂，而数学方法则是展现其相应数学思想的凭借;没有数学思想的数学方法极有可能沦落為“操作程序”，而没有数学方法的数学思想也极有可能变质为“空洞思辨”。譬如，就小学数学中的“解决问题的策略”教学而言，应该先理解其背后所蕴含的数学思想方法，然后再行施教方有可能收获其预期目的。否则，就极有可能得了芝麻（方法），失了西瓜（思想）。

譬如，“列表”所蕴含的数学思想方法就是，对象的分类或概念的划分以及相应的分类或划分的方法;“画示意图”所蕴含的数学思想方法就是，数形结合思想与相应的画图法;“列举”所蕴含的数学思想方法就是，分类思想以及相应的分类方法;“倒推”所蕴含的数学思想方法就是，过程或运算的可逆性思想以及相应的互逆运算;“替换”所蕴含的数学思想方法就是，过程中的不变量思想以及相应的等量关系;“假设”所蕴含的数学思想方法就是，不变量思想和逼近思想以及相应的等量关系和逼近方法;“转化”所蕴含的数学思想方法就是，不变量思想以及相应的等量代换方法等。

由此可见，策略的相对性和多样性。因此，那种在教学中把策略解释为是“最好的方法或最有效的方法”的理解是不足为道的，而那种在教学中只关注一种策略却不对多种策略进行比较或分析的做法也是不值得提倡的。

再譬如，数形结合思想方法是贯穿于整个小学数学始终的一个数学思想方法，是我们培养学生数学直观和逻辑推理能力的“高效材料”。其核心思想是“数”与“形”之间的相互转换、相互表达和相互解决，其具体方法则有数轴、数对表示位置（坐标系）、示意图等。就示意图而言，其重在用图来表达意蕴，而非用图来表示具体含义，而教学实践中却时常相反，值得注意。

但是，如果我们任意拔高数学思维的“含量”，而无法顾及儿童自身发展尤其是其数学思维发展的一般规律，那么，任何旨在培养学生数学思维的教学活动甚至数学课程改革或数学教育改革运动，都无法收获其预期的成效。譬如，数学教育发展历史上的“新数学”教育改革运动的失败，就是明证。因此，灵活运用儿童数学思维发展一般规律，应该是开展“小学数学课堂教学培养学生数学思维”活动的必要任务和准备。

五、灵活运用儿童数学思维发展的一般规律

依据皮亚杰的儿童认知发展阶段理论，8岁左右的儿童其认知发展水平主要处于从前运算阶段到具体运算阶段的认知发展阶段。而身处此认知发展阶段的儿童，其学习心理尤其是其认知发展特点主要是，通过对自身活动的反身抽象，可达成对活动对象的相关认识，并获得相应的概念认知。

譬如，就“一一间隔排列”的学习而言，三年级学生可通过自身具体的操作活动与反省观察，以形成“一一间隔排列”（排成一行）概念，并通过“社会协商”（即同伴之间的沟通、交流与研讨）达成对“一一间隔排列”各种具体情况进行分类的依据之认同（排成一圈则仅是其中一类的“变形”）;至于“一一间隔排列”中两种物体数量之间的关系，三年级学生则可通过其已有的知识经验（即此前的“一一对应”操作活动的经验及其认知）或对具体事例的量化观察、抽象与概括而较为容易地得出。

具体而言，就三年级学生学习而言，“一一间隔排列”概念的获得应主要以概念形成的方式来达成，而“分类依据”的认同则应主要以“社会协商”活动来求得，至于“一一间隔排列”中两种物体数量之间的关系则可通过再现“一一对应”活动来获得。

由此可见，图2是小学三年级学生学习“一一间隔排列”的一种可能的心理过程：图2中的“上半部分”只是小学生学习这类数学内容的一般心理过程或认知过程，而其“下半部分”则是学习“一一间隔排列”这一数学内容可能的具体心理过程或认知过程。

因此，对“儿童数学思维发展一般规律”的运用，不能直接或机械地搬用，必须结合具体的数学内容和教师的教学经验和反思来建构可能的学习过程，并据此设计教学活动，反思教学效果，不断提升“学习过程建构”的科学性及其可行性。

总之，只要小学数学教师想在自己的课堂教学中真正培养学生“学会数学思维”，就必须知晓“什么是数学思维”，并做好上述几项功课或准备工作。但是，这只是“教会学生数学思维”的必要条件。想使其转变为“充分条件”，还需要我们小学数学教师不断地研学数学与运用数学，成为数学教育的“自立”之人;不断地实践尝试与自我反思，成为数学教育的“自觉”之人;不断地拓展自己的视野，沟通数学各部分内容及其之间的内在关联、数学与其他学科或领域的关联、数学与儿童生活和社会实践的关联，坚信“数学育人”，成为数学教育的“自新”之人。

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