复数在电路分析设计中的应用

（上海南汇中学，上海 201300）

1.背景介绍

1.1 课题背景及意义

经过长时间的发展，如今复数及其相关理论已在各个邻域得到了非常广泛的应用。在电路分析与设计中，现代滤波电路、变压电路、集成电路等均可采用复数理论进行设计与分析。借助复数理论进行电路分析，其方便之处主要在于复数乘法的特殊运算性质：即只需将幅值相乘，相角相加，因而用复数表示正弦函数可直观地看出正弦规律变化信号的相移特征，从而大大方便了电路分析与设计过程。本文在对复数的基本运算及性质进行简要介绍

1.2 国内外研究现状

复数作为一种古老的数学理论，经过百年时间得到了充分的发展与应用。文献[1]从复数的发展与数系的演变历史入手，并由此推导了复数的运算规则，指出了复数与函数的结合广泛运用于理论研究和工程实践中。文献[2]提出了可以用复数表示正弦交流信号，并通过公式推导了用复数相关运算法则进行电路分析计算的一般方法，使电路分析与设计得到简化。文献[3]提出运用复数相关理论设计的滤波器可消除低中频电路结构存在的镜像干扰问题，并通过仿真验证了设计方案的合理性。文献[4]提出了可以以复数分析为基础结合多种相关理论和技术对模拟电路故障诊断方法进行了研究，得到了很好的效果。文献[5]在对复数相关理论进行介绍的基础上，通过复数乘法器模块和CORDIC算法的结合，使所设计的电路达到了更快的运算速度和更高的运算精度，是复数理论在实际应用中的典型范例。由此可见复数理论由于其独特的运算优势，在现代电路分析和设计领域占有举足轻重的地位。

2.复数相关理论

2.1 复数概念与表示

2.1.1 数系扩充

公元前500年，毕达哥拉斯学派发现边长为1的正方形的对角线无法用自然数表示，并引发了第一次数学危机。后来人们将这类无法用有理数表示的数称为无理数，并将有理数与无理数构成的集合称为实数。至此，无理数和有理数在数轴上将填满整个数轴，数系得到了极大的丰富。公元16世纪，人们发现类似x2=-1的方程在人类已知的实数域内无解，经过了一段时间思考和统一后，人们规定了虚数单位满足i2=-1并称i为虚数。应用虚数使得类似x2=-1在实数范围内无解的方程在复数范围内有解，最后便形成了由实数与复数组成的如今被广泛应用的数系。

2.1.2 复数的表示方法

根据复数相等的定义，复数z=a+bi（a，b∈R）可以被它的实部和虚部所组成的有序数对唯一确定，因此可以参考实数在数轴上的表示方法，用坐标的形式表示一个复数，形如Z(a，b)的点在坐标平面内表示对应的复数z=a+bi。

所建立的直角坐标平面称为复平面，包括实轴与虚轴两个维度，在复平面内横轴X称为实轴，上面的点对应的都是实数，纵轴Y称为虚轴，上面的点除原点O(0，0)外，对应的都是纯虚数。由此，复数域上的每一个复数z=a+bi，均与复平面内的点一一对应，全体复数也将填满整个复平面。

2.2 三角函数的复数表示

自然界中的信号虽然基本都是随机的，但根据傅里叶变换理论：一个随机的信号可以表示为若干三角函数之和，因而对三角函数的研究至关重要。而三角函数若可以用复数来表示，则借助复数运算方便进行乘除这一突出优势，对三角函数的运算可简化为对复数的运算，从而大大方便对正弦规律变化信号的分析与处理，提高电路分析设计的效率。

如图1所示：复平面向量OB，B点纵坐标即为三角函数 y=|OB|＊sin(ωt+φ),也即复数 |OB|∠ (ωt+φ)的虚部即可表示三角函数值。

图1 三角函数的复数表示

由于同一电路中信号的频率一般相同，根据复数的乘法性质 |OB|∠ (ωt+φ)可以写成 |OB|∠ ωt＊ ∠ φ，忽略频率ωt则以角频率ω波动的正弦信号可以使用复数|OB|∠φ表示，该表示方法突出了正弦信号的两个重要参数，即幅值和相角，通过将正弦信号用复数进行表示，可利用复数方便乘除运算这一性质，大大简化正弦模拟信号的运算，提高电路分析设计的效率。

3.复数在电路分析与设计中的应用

本文前两节对复数的表示方法，运算法则等基础理论进行了详细分析与介绍，推导了正弦信号的复数表示形式，本章将借助复数方便进行乘法运算这一特点，利用复数运算代替正弦函数运算，以简化原本十分复杂的电路分析过程。在模拟电路中，电压电流均为以正弦规律不断变化的信号，若直接进行三角函数运算，将会大大增加分析电路时的难度，为此利用复数对这正弦函数进行表现形式上的简化，降低电路分析难度，方便电路分析和设计。

3.1 常见的电路元件

一般的电路通常由电容、电阻和电感组成，当正弦规律变化的电流流过电路元件时，将会产生一定的变化，以下将分析电容与电阻元件对正弦规律变化信号的影响。

3.2 电阻R

电阻作为一种常见的电路元件，对于同一个电阻而言，如果不考虑外界因素对它产生的影响，相同时间内通过电阻的电流大小与电阻两端电压成正比。若将流过电阻的电压电流表示为复数极坐标形式，其电压、电流所对应的复数应当具有相同幅角。即设某定值电阻电阻阻值为R，该电阻两端电压所对应的复数为U=U0∠（ωt+φ）。那么流过该电阻的电流I可表示为：I=U0∠（ωt+φ）/R，因为在同一电路中相角的变化速度ω相同（相角的变化角度相同），可忽略相角的变化对计算结果的影响，此时流过电阻R的电压、电流复数之间的关系可表示为下式：

3.3 电容C

电容是一种可以通过在导体之间构造介质，从而使电荷在电场中因受力移动而使得电荷逐渐累积在导体上，在电路中起到“隔直阻交”的作用，即允许交流电通过但能滤除其中的直流成分。

一般地，对于某一确定的电容器，保证加载电容器上的电压与周围环境不变的情况下，电容器的最大容量也不变。根据物理课本中的电容定义式可知电容存储的电荷量与其两端的电压成正比，即：

如果不考虑外界因素对它产生的影响，在维持施加在电容器上的电压保持不变时，电容与电容器上所存储的电荷量成正比，由此可进一步推出通过电容器的电流与电容之间的关系，并将其表示为复数极坐标形式。

设一段时间Δt内通过电容器的电流大小为I，这段时间内通过电容器的电荷量为ΔQ，施加在该电容器上的电压为ΔU，根据电流的定义式：

经过求导可得：I=C＊ΔU/Δt，进一步进行求导运算可知：

将式(12)结果表示为复数为：

可知，流过电容器的交流电流和电压之间的复数关系：

上式表明，当交流电流流过电容时，其在电容上所产生电压的相位比该电流的相位小90°，电流幅值是电压幅值的ωC倍。

4.无频闪电路的设计

日常生活中，插座所获得的交流电的频率为50Hz，也就是说电压每秒有100次过零，导致白炽灯大约每秒会闪烁一百次，但因为视觉暂留现象我们无法察觉到这飞速的过程，但白炽灯高频的闪烁却会对我们的眼睛造成一定的伤害。本文设了一种无频闪电路，可以在一定程度上减少频闪对眼睛造成的伤害。考虑到电容可使电压产生90度的相移效应，本文通过使用两个小灯泡并在电路中用电阻和电容结合的方式进行移相，可以在理论上实现一定的亮度互补，从而达到减少对眼睛的伤害的目的，如图2所示。

图2 无频闪电路示意图

对电路中的其中一级进行研究，假设通过电路的电流大小为I，加在电容上的电压为U1，加在电阻上的电压为U2，电源电压为U，接在电路中电阻的阻值为R，电容为C。由前面章节可知交流电路中的电路与电压皆可表示为正弦信号并进一步可表示为复数，可得电压电流如下的复数关系：

设电源电压复数为：U=A∠0°，可得流过电容的电流与其两端电压之间的关系如下式所示：

因而在该电容、电阻串联电路中有：

加在电容两端的电压复数可表示为：

由此可知，使用电容和电阻的组合可以对电路中的正弦信号进行移相，从而达到所需要的预期效果。图2中单级电路的移相角度为arctan(RωC)，本文采用两级电路对正弦信号进行移相，以使输入电路的电压和输出电压之间具有90°的相角差，达到消除频闪的目的。

5.结论

复数作为数系扩充史上最后被加入的一类数，其诞生经历了一系列曲折的过程，如今复数已在各领域得到广泛的应用。本文在对复数的表示与运算进行充分研究的基础上，应用复数可以方便表示正弦量这一性质以及复数乘法可以方便的对正弦量进行相移的突出优势，分析了正弦信号在通过常见电路元件：电容、电阻后的相移规律，并由此设计了一种无闪动光源，解决了因传统光源电路存在电流过零点而造成的“频闪”现象，本文所设计电路能够实现光源互补，从而消除了因电流过零而造成的光源闪动问题，具有一定的实用价值。