MHD方程组正则性准则的研究

李亚飞，郭正光

(温州大学数理与电子信息工程学院，浙江温州 325035)

本文考虑的三维不可压磁流体方程组，形式如下：

其中 ,ub和p分别定义为未知的速度场、磁场和压力，并且u0(x) 和 b0( x)是已知的初始条件，当 b=0 的时候就得到了Naiver-Stokes方程．磁流体力学（Magneto Hydro Dynamics，MHD）是流体力学的一个重要分支，本文中很多思想来自Naiver-Stokes方程，所以首先介绍一下Naiver-Stokes方程正则性的一些结果．

Serrin[1]得到，当三维Naiver-Stokes方程的弱解满足：

则方程在(0,]T上是正则的．

文献[2]中得到关于速度梯度的正则性：He[3]和Zhou[4]根据Naiver-Stokes方程的正则性准则，建立了仅依赖速度的Serrin-type正则性准则，没有关于磁场b的假设．如果速度场满足：

或者

则得到方程组（1）的弱解在 R3×(0,T]上是光滑的．文献[3-4]中的Serrin型正则性准则的特点是初始时间之后没有关于磁场的假设，如文献[3]所述，这表明流体速度可能在MHD方程组中起主导作用．可以发现，条件（5）要求在勒贝格空间中的∇u具有适当的指数α和β的可积性，并且第一个不等式右端的数目是2，从尺度不变的观点来看，这个结果是最优的．然而，由于∇u实际上是一个3×3矩阵，它的9个元素应该满足（5），条件（4）则需要都满足（4），因此，期望只对部分速度分量施加梯度的正则条件，这是一个直截了当的想法，但在没有磁场的帮助下，这是很难达到的．在过去的一段时间内，已经有一些文献介绍这方面的内容了．

得到方程组（1）的弱解是光滑的．

Jia和Zhou在文献[6]中得到 u3, b，满足：

得到方程组（1）的弱解是光滑的．

在文献[7]中得到：

得到方程组（1）的弱解是光滑的．

得到方程组（1）的弱解是光滑的．

得到方程组（1）的弱解是光滑的．

更多这方面的内容，可以查看文献[10-20]．

1 预备知识

定义1 设(u,b)是定义在R3×(0,T]的函数对，若满足下列条件：

2 主要结论

2.1 定理及其证明

先将方程组（1）的第一个方程乘以 - ∂33u，然后再积分．在时间的积分区间是 (T1,T2)，空间上积分区间是 R3，得到：

2 估计 J2

首先，估计第一项．

然后得到：

和

然后得到：

相似地有：

因此整理（17）–（22）式可得到：

对于b，得到如下结果：

对于u，得到：

得到：

不等式（23）右边第一部分可以作以下估计：

第二部分的估计：

证明完成．