WOD随机变量序列加权和的完全收敛性

蔡光辉,项 琳,章 茜

(浙江工商大学统计与数学学院,浙江杭州310018)

§1 引 言

Wang等[1]引入了WOD(widely orthant dependent)随机变量序列的概念.

定义1[1]称{Xn,n≥1}是带有控制系数{gU(n),n≥1},n≥1的WUOD(widely upper orthant dependent)序列,如果存在有限的实数序列{gU(n),n≥1},任取n≥1和xi∈(−∞,∞),1≤i≤n满足

称{Xn,n≥1}是带有控制系数{gL(n),n≥1},n≥1 WLOD(widely lower orthant dependent)序列,如果存在有限的实数序列{gL(n),n≥1},任取n≥1和xi∈(−∞,∞),1≤i≤n满足

称{Xn,n≥1}是WOD(widely orthant dependent)序列,如果{Xn,n≥1}既是WUOD序列,又是WLOD序列,其控制系数记为g(n)=max{gU(n),gL(n)}.

显然,WOD序列较NOD(negatively orthant dependent)序列(g(n)≡1)和END(extended negatively dependent)序列(g(n)≡M,M>0)等随机变量序列均更加广泛和更加一般.对于特殊情形,不少学者做了相关研究,详见文献[2-6].其中Wang(2014)[2]研究了END随机变量序列加权和的完全收敛性(具体见下面定理A,定理B,定理C).

定理A设{Xn,n≥1}是同分布的END随机变量序列,1/2<α≤1,αp>1,EX1=0,E|X1|p<∞.设{ani,1≤i≤n,n≥1}是一个实数阵列且|ani|≤1,1≤i≤n,n≥1.那么对任意的ε>0,有

定理B设{Xn,n≥1}是同分布的END随机变量序列,1/2<α≤1,αp>1,EX1=0,E|X1|p<∞.设{ani,1≤i≤n,n≥1}是一个实数阵列满足|ani|>1或者ani=0,且,s>p.那么对任意的ε>0,有(1.1)式成立.

定理C设{Xn,n≥1}是同分布的END随机变量序列,1/2<α≤1,αp>1,EX1=0,E|X1|p<∞.设{ani,1≤i≤n,n≥1}是一个实数阵列满足,s>p.那么对任意的ε>0,有(1.1)式成立.

对于WOD随机变量序列,Wang等(2012)[7]获得了WOD随机变量序列的精确大偏差.邱德华等(2014)[8]在适当条件下获得了WOD随机变量序列加权和的完全收敛性和矩完全收敛性.蔡光辉等(2014)[9]在一个独立随机变量序列的重对数律的基础上,获得了不同分布WOD随机变量序列的重对数律.Tao和Wu(2016)[10]获得了WOD随机变量序列滑动平均的完全收敛性.Liu和Shen等(2017)[11]获得了WOD随机变量序列的矩完全收敛性.特别地,丁洋等(2015)[12]获得了WOD随机变量加权和的完全收敛性(具体见定理D).

定理D设{Xn,n≥1}是一个被随机变量X随机控制的WOD随机变量序列,α>1/2,αp>1,且EX=0,E|X|p<∞.令g(n)=O(nθ),其中θ>0.设{ani,1≤i≤n,n≥1}是一个实数阵列且满足,其中

本文的主要目的是在WOD随机变量序列的情形下,利用部分和最大值的Rosenthal型矩不等式，获得加权部分和最大值的完全收敛性结果,具体的结论见如下定理1所示.

定理1设{X,Xn,n≥1}是同分布的WOD随机变量序列,α>1/2,αp>1,且E|X|p<∞.令g(n)=O(nθ),θ≥0,当α≤1时,EX=0.设{ani,1≤i≤n,n≥1}是一个实数阵列且满足

注1当θ=0时,则定理1为{X,Xn,n≥1}是同分布的END随机变量序列情形的加权和的完全收敛性.

注2定理1与定理A,定理B,定理C比较,不仅将END随机变量情形推广至WOD随机变量情形,还将部分和推广至最大值部分和的情形及将1/2<α≤1拓展至α>1/2.

注3定理1与定理D比较,不但将定理D中的部分和推广至最大值部分和情形,并将权条件减弱至s>p.

定理2设{X,Xn,n≥1}是同分布的WOD随机变量序列,α>1/2,αp>1,且E|X|p<∞.

§2 定理的证明

2.1 若干引理

为了证明定理1,需要如下3个引理.

引理1[1]设{Xn,n≥1}为WOD随机变量序列,如果{fn(·),n≥1}是均非升(或均非降)的函数，则{fn(Xn),n≥1}仍为WOD随机变量序列.

引理2[10]设p>1,{Xn,n≥1}是均值为零的WOD随机变量序列,对任意的n≥1都有E|Xn|p<∞.则存在仅依赖于p的正整数c1(p)和c2(p),使得对任意的n≥1,有

引理3设X是随机变量,α>1/2,αp>1,且E|X|p<∞.设{ani,1≤i≤n,n≥1}是一个实数阵列且满足(1.3)式.则有

证由文献[13]中的引理2.3及引理2.4的证明即可得到.

2.2 主要结果证明