一道教材习题的探解，引申和应用

左效平 赵庆山

教材是学习的主要依据，习题是巩固所学的主要途径，规范探解习题，科学引申习题，灵活运用习题都是数学学习的有效途径，主动探究习题，是数学学习的良好数学学习品质，下面就向大家推荐习题探究的基本模式，供学习时借鉴，

原题再现：

工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图l，∠AOB是一个任意角。在边OA，OB上分别截取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C的射线便是∠AOB的平分线，为什么？（人教版数学八年级上册P37页第2题）

题意剖析：阅读命题时，做到“一写三化”，“一写”就是把已知的条件写下来，“三化”就是把语言文字数学式子化、符号化、图形化，这样就把问题数学化了，化归学科模型，形成学科体系，体现学科特点，为问题解决奠定基础，解答时，遵循“三步模式”即写已知、定求证、给证明，

在书写时，要注意文字严谨，描述准确到位，确保问题整体的完整性，系统性，科学性，

已知：如图2.已知∠AOB，点M，N分别是OA，OB上的点，且OM=ON，若CM=CN，

求证：OC平分∠AOB。

证明

因为OM=ON（已知），CM=CN（已知），OC=OC（公共边），所以△OMC≌△ONC，所以∠MOC=∠NOC，所以OC平分∠AOB，

变式探究：

变式l将CM，CN与角的两边的位置关系垂直化

如图3.用三角尺可按下面方法画角的平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM=ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，为什么？

分析 此题是原题的特殊化情形之一，即将二线的位置关系由一般化转化为特殊的垂直关系。由直角的特殊性，从而运用HL继续判定两个三角形是全等的，从而确保结论的不变，

通过证明，这是一个真命题，可以看成是角的平分线的一个重要的性质定理，

推论在角的两边且到角的顶点距离相等的点与角平分线上的点的距离相等，

特性 角的平分线垂直平分在角的两边且到角的顶点距离相等的点的连线，如图5所示，

性质的证明，同学们可以自己独立完成，

变式3隐藏两边上的等线段，探求结论不变性

点评：角的平分线的性质定理和推论可以看成是角的平分线的姊妹性质，是学习、应用角的平分线解决问题的重要依据，同学们务必准确，熟练，灵活的掌握与应用，提高自己的数学解题能力和问题解决能力，

变式4变角的平分线为三角形的角的平分线，探求新结论

如圖7.AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD相交于点G，AD与EF垂直吗？证明你的结论，

分析将角的平分线转型为三角形的角平分线，角平分线的意义不会改变，为角的平分线性质的运用提供基础，虽然看上去没有了变式中的等线段，但是垂线段的出现为等线段的浮出水面奠定基础，因此解答时，只需先运用角的平分线的性质，借助三角形的全等，生成等线段，从而把问题化归为变式2.问题自然就顺利得解，

点评 把独立的角置身于三角形的内角，优化了问题生成的背景，提高问题的趣味性，丰富问题的内涵，拓展解题的思路，通过解答，不难发现AD不仅垂直EF，且AD平分EF，

此题完整的结论应该是AD垂直平分EF，我们可以把这个图形再次提取出来，得到一个典型图形，具体如下：

变式5生成一个崭新而趣味满满的筝形（图8），已知AB=AD，CB=CD，称四边形ABCD是筝形，

仿照上述的证明，不难发现筝形具有如下性质：

1.AC是∠BAD，∠BCD的角平分线：

2.AC垂直平分BD，感兴趣的同学们可以自己给出性质的证明。

性质的应用：

点评这是原题性质的具体应用，同时解答的过程中，也提供了一种证明一条线段等于其余两条线段和的重要方法——截长法，希望能熟练掌握这种解题方法并能灵活运用。