浅析高中数学“错误”资源的开发与利用

■江苏省徐州市泉山区第三十六中学 郁茜茜

问题的提出：在高中数学的学习和解题过程中，学生出现一些错误是在所难免的。面对错误，有的教师仅仅抱学生怎么会犯这种错误，有的教师没有给予充分的关注，有的教师会对学生进行批评，从而扼杀学生的创造性思维。我想通过本次探讨，改变一些教师对学生所犯“错误”的原有认识，重新审视学生的“错误”。在认知心理学的发展下，大家已经逐步认识到学生在数学解题过程中“错误”的合理性，但是我认为，仅认识其合理性远远不够，其实学生的很多“错误”是有价值的。在教学过程中，给学生机会充分展示其思维过程，呈现出“错误”的闪光点，并顺着学生的思路将合理的成分激活，引导学生发现“错误”，对自己的思维过程进行修正，那么“错误”就成了数学课堂教学中的宝贵资源。

一、善待“错误”——激发学生的探究欲望

布鲁纳曾说：“探索是数学学习的生命线，没有探索就没有数学的发展。”可见探索的重要性和必要性，“错误”也就有其存在的合理性了。因此，我们对待学生的“错误”要宽容，在教学中，我们要允许学生出错，给学生营造探究的氛围，让学生在宽容中分析错误、发现错误、改正错误，不仅能让错误得到升华，并能激发学生的探究欲望。

我在教学中曾遇到这样一个案例。一道数学题如下：

“在平面直角坐标系xOy中，已知圆

，点A是x轴上的一个动点，AP,AQ分别切圆C于P,Q两点，则线段PQ的取值范围是什么？”正确答案是但一位同学给的答案是他是从特殊位置考虑的，并坚持认为能取到，E如果作者从形的角度解释他想象不到，理解不了，于是建议其从数的角度来推导。先让同学们独立思考，然后小组讨论，展示交流，同学们给了我很大的惊喜，在短短的几分钟内给出了三种解法图。见右图：

方法一：设AC=x，则x≥3，由PC⊥AP可 知AP=因 为AC垂直平分PQ，所以PQ=所 以 当x= 3时，PQ取得最小值，所以，所以PQ的取值范围是

方法二：设A(a,0 )，由A、P、C、Q四点共圆得圆的方程为x2+y2-ax-3y=0，与圆C的方程相减得到PQ所在直线方程为ax-3y+7=0，求出圆心C( 0,3)到直线ax-3y+7=0的距离为d，由求出线段PQ长的取值范围是

方法三：设∠PAQ=α，则∠PCQ=π-α，在△PCQ中由余弦定理得得PQ的取值范围是

在同学们从数的角度探究之后，刚才给出不同答案的同学恍然大悟，对之前的错误有了新的认识，而同学们为了证明他的想法是错误的，有着很高的探究热情。面对学生的错误，给予宽容的态度，轻松的范围，探究的机会，保护好学生的创新思维，并让学生的认识得到了升华，感叹“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好”。

二、诱导“错误”——拓宽学生的思维空间

学生某些知识时，学生在探究过程中不容易出错，但是，这并不代表学生对这些知识掌握得就深刻、灵活、透彻，在解决相关问题时候却特别容易出错。此外，有的问题学生会特别容易出错，反复出错。针对这两种情况，教师可以尝试有意设置一些陷阱，引诱学生犯错。在教学中，学生利用导数研究函数的单调性进而作出函数的图象这类题，如一个函数在[ 2,+ ∞)上先增后减，递减的那部分图象很多学生不加分析就会穿过x轴。每次错了一分析就注意到，再遇到时又出错。针对这种情况，我在教学中就会特意设置一些带陷阱的函数模型，并且在分析作图的时候也故意忽略判断是否穿过x轴的情况，让学生提出异议，发现问题所在，认识到数学的严谨性，在问题的发生、发展、探索过程中拓宽了学生的思维空间。例如：已知函数求f(x)的零点个数。有反应快的同学立刻回答有三个，分析其过程，第一段一次函数在( -∞,1 )上显然有一个零点，第二段函数求导后发现其在( 1,e)上单调递增，在上单调递减，且f( 1 )= 0，第二段有两个零点，共三个零点。我赞美其分析得很好，思路很清楚。这时，有同学说：老师，不对，有问题。我追问：你发现了什么问题？同学答：虽然第二段函数在上单调递增，在上单调递减，但递减时不能穿过x轴，因为分子分母都是大于0 的，图象是逼近x轴，所以第二段函数只有1个零点。教室传来一片赞同声。我乘胜追击，问同学们通过这道题有何收获？同学们能否自己再找一些类似的函数模型？在后续的教学中我发现确实收效甚好。

三、巧用“错误”——培养学生的发散思维

教学中的一个案例：关于x的不等式x2-ax+2a＜0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，求实数a的取值范围。几乎所有的同学都是设方程x2-ax+2a=0的两个根为x1,x2，则有x1+x2=a，x1x2=2a，2＜进而求出a的范围。我反问学生：是否只要满足2＜|x1-x2|≤3 这个条件，集合A中就一定恰有两个整数解？若不是举出反例。学生纷纷举出了反例。那么我们犯了一个怎样的错误？同学答：转化不等价，必要不充分条件等。这给我们以后做题带来怎样的启发？同学答：问题的转化要等价。那么这题该如何思考呢？有同学想到不等式、方程、函数之间的关系，从方程根的角度不好研究，就从函数的角度来研究。给学生探究的时间，然后让他们交流讨论，展示成果。一同学代表发言：若满足题意，其对应方程x2-ax+ 2a= 0必有两个不等的实数根，则Δ=a2-8a＞0，得到a＜0或a＞8。研究函数2a，当a＜0时，对称轴小于，结合图象可知集合A中的两个整数为-1,0，剩下问题就迎刃而解了，a＞8时的情况同理可得。在教学中，巧用学生的“错误”，抓住教学契机，可以有效地培养学生的发散思维，

四、经历“错误”——增进学生的情感体验

在教学中曾有这样一道题目：若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷两次，向上的点数纸之和为6的概率是多少。有一些同学答案是他们认为向上的点数之和为6 包含的基本事件个数是6 个，分别为（1，5）、（5，1）、（2，4）、（4，2）、（3，3）、（3，3），明白的同学都会很奇怪，怎么会有两个（3，3）。但是深陷其中的同学就是在自己的理论中醒悟不了，和理解正确的同学争执不休，这时，让他们把所有基本事件一一列出来，他们发现竟然真的是一个（3，3），与之所想不同。在经历了“错误”之后，他们由困惑到豁然开朗，学生如释重负，心情特别愉悦，增进了情感体验，激发了学习热情。

泰戈尔曾说“：如果你对一切错误关上了门，那么真理也将将你关在门外。”对于错误，我们不应该退避三舍，而应该遵循发现错误、分析错误、找出错误、解决错误的处理步骤“。错误”是一种宝贵的教学资源，我们要加以收集，并正确、合理地加以开发、利用，使学生在知识、能力、情感、态度等方面得到进步和发展。