双曲线小题中的一题多解与一题多变

李瑛

摘  要：圆锥曲线小题在高考中占据两道，有一道通常是求双曲线的离心率大小（或范围）、渐近线方程等问题。由于它涉及双曲线较多的基本量，以及方程与曲线、方程组与不等式的求解问题，因此解题过程比较复杂，思考角度比较多，导致解题方法的多样化。文章从解决某一道双曲线小题出发，引导学生领悟双曲线解题思路的多样，感受一题多解的魅力，打开举一反三的大门。

关键词：双曲线;离心率;渐近线;一题多解;一题多变

一、解题知识

（一）基础知识

已知双曲线方程为，两焦点分别为，，左、右顶点分别为，，点为双曲线上的一动点，则：①定义;②;③离心率;④渐近线：

（二）常用结论

结论1：由双曲线的左右焦点到两条渐近线的距离均为.

结论2：由双曲线的左右顶点到两条渐近线的距离均为.

二、典例分析

典例（2017全国卷I）以双曲线C：的右顶点為圆心，b为半径作圆，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点.若，则的离心率为       .

（一）一题多解，搭好桥梁

[解析]由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，，從而AMN为等边三角形.设渐近线的倾斜角为，过点A作交渐过线于P点.下面开始“搭桥”.

思路1：借“”搭桥.

由

思路2：借“”搭桥.由以及，

思路3：借“”搭桥.由，

[总结] 相比之下，思路3通过直接得出與的关系式，计算最简洁，因此是最快捷的方法。今后同学们遇到此类题型就知道如何去搭桥找题眼了。

下面将例1进行变式训练，培养学生的发散思维以及举一反三的能力。教师也可引导学生去改编题，比如改变圆心、半径、直线与圆位置关系、角的大小等。

（二）一题多变，举一反三

变式1：将典例中半径改成“半径”，其余不变，则.

[解析]很快找到“桥梁”，，解得.

变式2：以双曲线：的右焦点为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点.若，则的离心率为       .

思路1：由结论1及正三角形性质知，.

思路2：由结论1及的几何意义知，.

思路3：在直角三角形中，由，.

通过变式1、2我们发现，无论圆心是在右顶点，还是右焦点的圆，都经过原点O，且与双曲线同一渐近线的两交点与圆心构成的三角形相似，因此双曲线的离心率相同。

那如果圆心不是这两个特殊点呢？我们得到以下推广结论。

[推广]已知双曲线，以点为圆心，为半径的圆与其一条渐近线相交于M，N两点.

（1）若，则该双曲线的离心率为;

（2）若，，则该双曲线的离心率为.

推导：（1）在中，，由，解出.

（2）由，從而，因此.

我们再回到典例，将条件“渐近线与圆相交”进行改变，得到如下变式3。

变式3：以双曲线：的右焦点为圆心，a为半径的圆与双曲线的渐近线相切，则双曲线的离心率等于       .

[解析] 由题意得b=a，该双曲线C为等轴双曲线，故离心率

变式4：以双曲线：的右焦点为为圆心，a为半径的圆与双曲线的渐近线有交点，则的离心率的取值范围是         .

[解析] 渐近线与圆有交点，则圆心到漸近线的距离，即，从而. 又e>1，因此

[归纳] 通过变式3和变式4发现，等轴双曲线是一类很特殊的双曲线，它在求双曲线离心率的值或者范围的过程中，一般都是“临界值”。

此外我们还发现，若将圆的半径换成，则该圆与双曲线的渐近线刚好相切。

结论3：以双曲线的焦点为圆心、虚半轴长为半径的圆与双曲线的渐近线必定相切。

下面再进一步改变典例题目的条件，半径变成直径问题。

变式5：已知分别是双曲线的左、右焦点，是以为直径的圆与该双曲线的一个交点，且，则这个双曲线的离心率是（ ）

A.B.C.D.

[解析] 由题意知点位于左支且，由可得. 从而，.

思路1：借“”搭橋.根据双曲线的定义可知，从而求出离心率，

选C.

思路2：借“”搭桥.在中，.

思路3：借“点坐标”搭桥.连接，易知是以为边长的等边三角形，计算出坐标，将之代入双曲线方程，从而建立关于a，b，c的方程.

[小结]思路2与思路1有着异曲同工之处，显然思路3的计算量最大，相比之下，变式5建议采用前两种思路。

如果继续按照这样的变题思路走下去，相信这一道“典例家族”可以更加庞大。在此，笔者只是作个示范引导，感兴趣的你可以继续做下去。

三、思考提升

已知双曲线，是实轴顶点，是右焦点，是虚轴端点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为斜边的直角三角形，求双曲线离心率的取值范圍.

变式1：将“存在不同的两点”换成“存在一个点”，求离心率的取值范围.

变式2：将“存在不同的两点”换成“不存在点”，求离心率的取值范围.

变式3：将题干中“线段上（不含端点）存在不同的两点”换成“线段上（含端点）存在不同的两点”，求离心率的取值范围.

变式4：将题干中“线段上（不含端点）存在不同的两点”换成“线段上（含端點）存在一个点”，求离心率的取值范围.

四、归纳小结

离心率是圆锥曲线的重要几何性质之一，是高考常考的问题。解决此类问题的关键是要求出或者找到关于的关系式，掌握“搭桥”的技巧，平时多进行举一反三训练。

文中提到的一些结论及推广命题主要是基于焦点在轴上的双曲线而言，同样也适用于焦点位于轴的双曲线，这个推导过程交给读者自己去完成了。

文章涉及到的内容仅为个人鄙见，若有不妥之处，欢迎批评指正。

参考文献：

[1] 高考总复习优化设计.理科数学/任志鸿主编. ——北京：知识出版社，2017.2（2019.2重印）

[2] 共焦点的双曲线和椭圆问题. 李志强. ——李志强高中数学解题研习社，2019，9

[3] 考试说明全解. 数学. 理/薛金星主编. ——北京：现代教育出版社，2016.1（2019.1重印）

[4] 解题卡壳怎么办：高中数学解题智慧点剖析. 余继光，苏德矿编著. ——浙江大学出版社，2019