中学数学中不等式的证明方法及技巧

苏梦虎

【摘 要】 在高中数学学习过程中，不等式的应用占据了很大一部分，譬如在解析几何与函数相结合的题型、有关圆周问题的题型中都会有所应用。由此，掌握不等式解题技巧便可更为高效地解决数学问题。因此，学习不等式在高中数学学习过程中是十分重要的。本文就中学数学中不等式的证明方法及技巧这一问题展开探究，先是闡述不等式的概念，再例举常见的重要的不等式并归纳其证明方式及技巧，最后分析不等式在高中数学题型中的实际应用。

【关键词】 高中不等式;证明方式;解题技巧

不等式的题型是多种多样的，因此不等式的证明方法也有许多不同，但即便是这样灵活多变的题型，其规律还是有迹可循的。本文通过例举习题、总结方法的方式阐述观点，望对今后碰到这样题型的学生能起到一定的借鉴和帮助。

一、不等式的概念

数的关系不全是相等，还存在不等关系。含不等符号的式子，就是一个不等式。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的“>”“<”连接的不等式称为严格不等式，用“≥”“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。

二、不等式证明方式及技巧

1.比较法

不等式的证明方式在比较法中主要分为两类，一是做差法，二是做商法。这种证明方式的优点便是较为明了，容易被同学们想到，但缺点便是比较法的应用条件较为局限，并且计算量较大，容易出现错误。

如例1便是用了比较法中的做商法来证明不等式，需注意的是，在通常情况下，同学们应记住不等式中a2+b2≥2ab的变式应用，这道例题便是结合了根式不等式的相关应用并通过变换来证明出结果。

2.换元法

换元法又称等量替代法，通过设定整体未知数或是较为复杂变量的方式达到简化解题的目的。如例2便是通过换元法并结合相关理论公式来证明不等式。

三、不等式在高中数学题型中的实际应用

如例3所示，该高考真题第一小题从基本不等式的概念出发，通过不等式之间的变换得出结论。第二小题在第一小题的基础上通过反证法来推理，进而产生矛盾，最后得出结论。

综上，不等式作为一种解题的路径，其证明方式也是多种多样的，同学们在做此类题型的时候应善于去发现每道题型中独特的地方，并通过归纳总结，在下一次做题时能加以筛选应用。上述证明方式与技巧仅仅是一些较为常见的方法，高中教材上对于不等式的介绍不多，但即便如此，不等式多样的解题方式也能给我们诸多启示，当我们在遇到困难时，如何运用最优解法来解决问题，这不仅是在解不等式时应思考的问题，也不仅是在学习高中数学中需要去思考的问题，还是我们需要通过一生的学习去思考的问题。因此，通过本文对于不等式的证明方式及技巧的归纳，同学们能对此有新的思考，并在学习中、生活中培养良好的分析问题与解决问题的思维能力。我们也应敢于创新，多借鉴学习他人优秀的数学教学理念，不断有效地提升高中学生的数学核心素养，帮助学生树立良好的数学思维，构建科学的数学知识体系。

【参考文献】

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