“二次函数背景下等角问题”教学探索

江同营

【摘 要】 二次函数背景下角相等的“存在问题”知识涵盖面广，综合性强，考查能力多，具有相当的深度与难度。二次函数背景下角相等“存在问题”的基本特征是在一定条件下一个角与已知角相等或互余的结论是否存在，这类题目对能力的要求比较高，广泛运用于中考的拉距与选拔题上，如何不用题海战术，让学生真正掌握解决这类问题的方法，是值得我们探讨的问题。本文就以实例对二次函数背景下等角问题的教学进行探索。

【关键词】 二次函数;等角问题;教学探索

二次函数背景下是否存在角相等的问题的知识涵盖面较广，综合性较强，考查能力也较多，具有一定的深度和难度。二次函数背景下是否存在角相等的问题，其基本特征是在一定条件下一个角与已知角相等或互余等的结论是否存在，常见的叙述语言是“在二次函数的图像上是否存在……，使得……？如果存在，请求出xx点的坐标（或xx的解析式），如果不存在，请说明理由”。根据分析，此类问题通常分为两大类型解题，一类是由位置关系确定的“存在性问题”，要求寻找的是满足特殊位置关系方面的要求，例如等腰三角形中等边对等角，另一类则是由数量关系确定的“存在性问题”，要求寻找一个特殊数量关系方面的要求，比如点的坐标等。这类题目对能力的要求比较高，广泛运用于中考试卷的拉距与选拔题目上，如何不用题海战术，让学生真正掌握解决这类问题的方法，是值得我们探讨的问题。

【探索目标】

1.探索二次函数背景下的等角问题。

2.体会数形结合、分类讨论等数学思想在解题中的运用。

3.在解决问题的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力。

【探索过程】

一、例题研讨

如图1，抛物线的图像与直线y=x+1交于点A、C，直线y=x+1与y轴交于点D，过C作CB⊥x轴于点B。

问题1：设点P是x轴上的一个动点，如果∠BPC=∠ADO，请画出满足条件的示意图，并直接写出点P的坐标。

【设计意图】将题目中的已知代数条件转化成几何图形条件，发现图形中隐含的信息，为解决之后的问题做铺垫，同时注意点在线上运动时是否会产生不同情况。

问题2：设点P是x轴上的一个动点，如果∠BPC=∠COD，请求出点P的坐标。

【设计意图】首先，画图是学生的弱项，以这题为载体进行训练。其次，通过角的改变，探索解决等角问题的方法。

此题属于较基本、较典型的常见题型，我们可利用此题二次函数的“背景”进行变式尝试，变式后的题目如下：

变式1：设点P是直线y=x+1上的一个动点，如果∠BPC=∠COD，请求出点P的坐标。

变式2：设点P是抛物线上的一个动点，如果∠CBP=∠OCD，请求出点P的坐标。

【设计意图】通过点P位置的变化（由在直线y=x+1变为在抛物线上）和角的变化（由∠BPC=∠COD变为∠CBP=∠OCD），让学生感受图形虽然略有变化，但是解题的思路方法没有变化，这样的变式更凸现了本题的重点，提高了思维的“质”，通过一系列的变式训练帮助学生对问题理解得更加深刻，从而提高学习的效率。

二、小结提升

教师引导学生进行分析思考小结：

1.可以从哪几个不同的角度解决二次函数背景下的等角问题？（平行线的同位角、内错角相等，等腰三角形的等边对等角，相似三角形的对应角相等，全等三角形的对应角相等）

2.在解决问题的过程中要注意些什么？

三、探索思考

本节课的教学重点是探索二次函数背景下的等角问题的求解方法。教学难点是如何转化二次函数背景下的等角问题。在教学设计上遵循以下思路：

1.思考方法的指导。引导学生在解决问题时，先要确定点P的位置、画出示意图，再观察等角的大小和位置关系，如果在不同三角形中，可以寻找相似三角形，利用对应边成比例求解，如果其中一个角的三角比可求，那么可以寻找或者构造直角三角形，利用三角比求解。

2.由易到难，逐级而上。例题的安排从简单入手，点P先是位于坐标轴上，然后位于直线AC上，最后位于抛物线上，利用图形中隐含的条件把等角转化到相似三角形或者直角三角形中。通过角的不同和点P的位置变化，使学生积累解题经验。

解决二次函数背景下角相等是否存在问题的一般思路是，先假设存在，把存在这一结论作为条件进行分析、研究、推理，接着进行精密计算，如果能够推出一个合理的结果，那么假设成立，如果得不出结果，或者结果和逻辑矛盾，那么假设就不成立，最后得出结论。解决二次函数背景下角相等的存在問题，可以从平行线的同位角及内错角相等、等腰三角形的等边对等角、相似三角形的对应角相等以及全等三角形的对应角相等诸多角度进行思考并给予解决。在解决问题的过程中，要注意分类讨论、类比、转化、数形结合等数学思想方法的应用。

二次函数综合题涉及的知识面广，思想方法多，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高。本节课基本做到了拓展同学的解题思路，将等角问题转化到直角三角形、相似三角形或者等腰三角形中。

四、跟踪训练

如图2，二次函数的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C。

（1）求顶点D的坐标;

（2）若点是y轴上的点，将点Q绕着点P按顺时针方向旋转90度得到点E，当点E恰好落在该二次函数的图像上时，求t的值;

（3）在（2）的条件下，连接AD、AE，若M是该二次函数图像上的一点，且，求点M的坐标。

【参考文献】

[1]叶兴君.二次函数题—角相等的“存在问题”[J].数理化学习，2015（7）.

[2]郭小丽.二次函数中的角度相等问题（初三）[J].数理天地：初中版，2018（12）.

[3]宋盛华.中考二次函数与“存在性问题”的探究[J].数理化学习（初中版），2011（07）.