用方程解决问题的“基础、能力与思想”

摘 要：方程是学生认识数量关系过程中的一个飞跃与转折点，列方程解决问题，打破了传统的用算术方法的解答，让学生经历用字母表示未知数并参与计算，使数量关系等在逻辑思维层面更加简单。列方程解决问题给学生又提供了解决问题的另一种策略，这种策略既是学生解决问题能力发展的需要。然而在实际教学中，学生的思考方式往往和代数思想存在着矛盾，我们发现学生主动用方程解决问题的意识比较淡，方程思想扎根浅。这对小学生思维发展而言，在学习列方程解应用题的时候自然会遇到很多困惑。

关键词：方程，基础，数学

从算术到代数，是学生认识现实世界数量关系过程中的一个飞跃，也是小学生学习数学的一个转折点。用方程解决问题是小学阶段数学教学的一个重要环节，列方程解决问题改变了以往解决逆思维题目用算术方法解答而学生很难理解的困惑，它符合学生的认知规律和知识基础，易于学生运用知识的迁移、结合正向思维正确解决问题。方程解决问题逻辑思维显得更加简单顺利但为什么学生不喜欢使用呢？原因出在哪里？我们调查一些学生了解出在的问题与困惑，归纳如下：格式要求太烦琐、等量关系找不到、方程优势悟不到，我们根据教材的特点，依据学段目标，学生的学情，针对以上现象，对列方程解决问题作了一些教学方法等的探索和尝试。

一、 重视方程的来源基础，为学生“愿学”扫平障碍

方程知识是“数与代数”领域的重要内容，而用“字母表示数”是列方程的基础。因此教师要重视这部分内容的教学，做一个有心人，结合新知学习，概念建立和练习设计等环节培养学生把未知数和已知数放在同等地位，逐渐培养学生“愿学”的意识。

（一）让学生认同用字母表示数或者表示关系

加法运算定律、乘法运算定律、减法性质、除法性质、计算公式等，如果这些让学生用文字表述出来，大部分表述不清楚，有的时候还会混淆，非常难记。但是学习了用字母表示数后，如果将这些用字母表示出来，学生十分喜欢，因为用字母表示简洁、明了，便于记忆。在这样的训练与熏陶下，学生慢慢地被接受，也慢慢地喜欢上用字母表示数。

（二）让学生经历构建数量关系代数式的过程

1. 学会用字母表示关系

如：小明今年a岁，妈妈比小明大20岁，妈妈今年几岁？a+20既表示妈妈的年龄，也表示妈妈比小明大20岁。从这里，学生发现含有字母的式子不仅可以表示数量也可以表示两者之间的关系。这一过程，恰恰是列方程解决问题一个不可或缺的部分。学生在经历的过程中，学会用字母表示的同时理解并掌握它的意义，让代数思想慢慢地融入学生的数学世界里。

五年级列方程解决问题是起始阶段，因此在教学中，可设计一些练习，为列方程解决问题作铺垫。练习内容可设计如下：

用含有字母的式子表示下列数量关系。

①比x少20的数是（   ）。

②比x的5倍多3的数（   ）。

③c与9的和的8倍是（   ）。

④一支钢笔x元，一块橡皮y元。15支钢笔需要（   ）元，30元能买（   ）块橡皮。30支钢笔和50块橡皮一共（   ）元。

⑤小明家的书房的面积是n平方米，客厅的面积是书房的3倍，书房和客厅的面积一共是（   ）平方米。客厅的面积比书房多（   ）平方米。

雖然学生对方程有了一定的基础，但六年级也不可忽视，因此也可设计以下内容进行练习：

①甲数是x，乙数是甲数的2/3，乙数是（   ）。

②一本故事书有x本，小红看了这本书4/8，还有（   ）没有看。

③六年级4个班共做了x面红旗，其中1班做了1/6，2班做了2/9，3班做了4/15，1班和2班一共做了（   ）面，3班做了（   ）面，4班做了（   ）。……

这样的练习，旨在让学生慢慢地习惯将未知数参与列式。在训练中，学生的抽象概括能力得到提升，符号意识得到增强，为后续列方程解决问题打下基础。

2. 经历用数学语言叙述出代数式

培养学生把未知数x和已知数放在同等地位来分析，并能正确、熟练地列出代数式。因此，在课堂教学中应强化以下两点：

（1）训练学生对代数式和数学语言进行“互译”。

例如：把下列代数式用数学语言表述出来：①5x-6，②5×6+4x。用代数式表示出下列数量关系：①x与8的和，②15与y的商，③x与9的积。

（2）训练学生把日常语言“翻译”为代数式。

比如：“羊的只数比牛的5倍少28只”，先用数学语言表述出“比某数的5倍少28”，再用代数式表示，“5x-28”。其意义在于让学生真正明白每个代数式所表示的实际意义，为学习列方程解决问题减缓了学习的坡度，化解部分难点，扫除其中的障碍。

二、 以构建等量关系式培养学生代数能力

列方程解决问题的关键是在于能根据实际问题找出数量间的相等关系，而同一个实际问题等量关系关系式变化很多。因此，教学中应重点教给学生从实际问题中分析数量关系的方法，让学生掌握基本规律，形成正确的解题思路。这样不仅仅是学到列方程解决问题的本领，还学到了根据等量关系，选择方法的一些技巧。

（一）培养学生寻找等量关系的能力

培养学生寻找等量关系是基础的能力。分析数量关系是列方程解决问题的关键，着力培养学生寻找等量关系的能力是教学的重点。

1. 从常见数量关系中寻找等量关系

如：路程=时间×速度，工作总量=工作效率×时间，总价=单价×数量，以及各种形体周长的计算公式。经常性的复习一些常见的等量关系，有利于学生列方程时寻找等量关系。

此外，还可以从常见的“和、差、倍、分”问题入手寻找等量关系。教材中最基本最常见的数量关系：单价×数量=总价、速度×时间=路程、速度和×时间=路程、工作效率×工作时间=工作总量等，这几个数量其实与生活息息相关，理解起来比较容易。

2. 利用数形结合寻找等量关系

数和形在客观世界中是不可分割地联系在一起的，数形结合的思想常常贯穿在数学教材之中。一般地，学生在感知问题情景的基础上，画出示意图，采用数形结合的方法分析数量关系。

如：小红从家出发，以每小时4千米的速度向郊外走去，3小时后，小芳也从小红家骑自行车以每小时10千米的速度也向郊外骑去，多长时间后小芳能赶上小红？

通过画线段图，帮助学生进一步抓住问题本质，把数量间内在的关系清楚地表达出来，从而更准确地列方程就显而易见了。

（二）训练学生列方程的能力

训练学生列方程的能力，最基本的就是训练学生用综合分析法列方程，这是和寻找等量关系紧密结合进行的。所谓综合法列方程，就是先假定题目中某一未知数为x，根据这个数与其他的已知数、未知数的关系，列出代数式，再根据题意找出等量关系，列出方程。

1. 利用关键字句的等量信息列方程。

解决问题有时尽管简简单单的几句话，但大部分题目会出现一些特殊的关键的句，如果能抓住这些关键句解题就会很顺利。在教学中，培养学生寻找关键句，并做一些特殊记号，会提高解题能力。

如：五年级教材例2。在教学中，首先让学生找到关键句“白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块”。然后让他们写出等量关系，通过分析、比较得出最简单的等量关系，再做一些通俗易懂的记号，列出最简单的方程。如“白色皮共有20块，比黑色皮的2倍少4块”这个关键句可写成以下形式，虽不太严密，但确实很有效，学生理解容易。

2. 利用不变关系模型列方程。

利用所学的列代数式的基础，将其最终用数学符号语言表示出来，列出方程解决问题。例如在期末复习时出现这样一道题目：一件标价640元的服装，在经物价部门审核后，价格降至240元，仍可获利20%。那么如果以原价出售，则商家可获利多少元？

在这个问题中，涉及成本、原价与现价三种价格，单位“1”是成本，获利20%其实是现价与成本比较的结果，而获利是原价与成本比较的结果，因此，求成本是多少是这个问题解决的关键。

在解决这个问题的过程中，采用何种设元方法存在争议。有的建议采用了直接设元法，设获利为x，也有采用了间接设元法，并用640-x的形式表示出了进价来计算，有些教师认为这样的同学在数量关系的掌握上更清楚。对这样的观点，我们不以为然。在分数解决问题题中，我们一般设单位“1”为未知数来解题，这不仅因为题中分数与百分数的理解往往都是基于单位“1”的，而且在方程与函数观念中，单位“1”的量往往作为题中的自变量，而其他的量是与其相对的应变量，准确寻找自变量是建立函数关系式的关键之所在（即成本的（1+20%）=售价，这样的关系是不变的），是学生代数思维能力发展的一种体现。将简单问题复杂化，这是小学方程认识中的一大误区，也正是前述学生的困惑所在。

三、 比较体验，感悟方程思想

由于受到知识水平和思维能力的限制，中、低年級学生解决问题的策略比较少，往往是以算术为主。学生已将这种方法视作经典，甚至是唯一。而“列方程解决问题”的策略，这种思维方式与算术方法有很大不同，学生在学习的过程中感受方程的思想，体会方程的价值，感悟到方程的魅力。

（一）正逆对比，体会优势

科技书有1200本，故事书比科技书的2倍少4本，故事书有多少本？

故事书有1200本，故事书比科技书的2倍少4本，科技书有多少本？

这一组一正一反的两道相关类型的题目，互相受干扰。这两个问题的关键句相同，因此等量关系也相同：科技书×2-4=故事书的本数。第2题中未知数与已知数都参与运算，学生往往会列：1200÷2-4或1200÷2+4，等等。这一问题让学生体会用算术法解决容易出现错误，而用方程解决则比较容易理解，方法简单，正确率高，这正是用方程解决问题的优势所在。

（二）难易比较，体会价值

方程最大的优势就是用它来解决问题的实用性。当学生对方程有一定的基础后，可练习一些简单的题目，让他们发现算术和方程一样的简单。当学生沉浸在成功的喜悦里，然后一百八十度大转弯，让学生做一些比较复杂、有难度的题目。如：“丢番图最著名的墓志铭”为例：“丢番图的一生，幼年占六分之一，青少年占十二分之一，又过了七分之一才结婚，五年后生子，子先父四年而卒，寿为其父之半。”用算术计算的方法很难算出丢番图的年龄，而用方程x/6+x/12+x/7+5+4+1/2x=x，由此知道丢番图享年84岁。当学生在用方程解决了某个实际问题的后，所带来的愉悦感，“原来方程这么有用！”，这才是方程最直接、最真实的实用性表现。

（三）方法比较，感悟思想

方法比较一般是指对于同一题目用多种方法进行解答，然后通过分析比较筛选找出最佳方法。解决问题学生一般会出现算术解或方程解。如：“鸡兔同笼”，在教学中，笔者首先给予学生充分的探究空间，组织学生进行讨论研究，出现了列表、假设、方程，抬腿法等方法并一一写在黑板上，然后利用学生生成的资源进行比较分析。“你认为哪种方法更容易理解？”学生在交流和碰撞中领悟到：“方程法”其实是把“未知数”看成“已知数”，顺向思维，而“算术法”逆向思维，理解起来更困难一些，还容易出错，所以“方程法”比“算术法”更“好理解”。通过这样的对比，有助于学生体会方程的价值，实现学生由“算术思维”向“代数思维”的转变。

方程，它的引入让学生踏上了数学学习的新领域，是数学思想方法认识上的一次飞跃，它将使学生发现和提出问题，分析和解决问题的能力，以及思维的灵活性提高到一个新的水平。

参考文献：

[1]惠君玲.例谈小学数学列方程解应用题的有效教学策略[J].新课程导学：八年级中旬，2016（3）：24-26.

作者简介：

潘梅红，浙江省绍兴市，浙江新昌县七星小学。