深谙极限思想，活用微元方

◇ 内蒙古 刘汉明 刘锁霞

所谓极限思想,就是指在某个方向上或者某个范围,一个指标不断逼近某个预设特定值的过程,是一个动态过程．这个预设的特定值可以是极小值,也可以是极大值．某个指标可能能够达到这个极值,抑或只能无限趋近它．极限思想是用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想．微元法是先将整体无限分割为众多微小的“元过程”,从而将非物理模型变成理想化模型,然后累加求和．

高中物理中某些概念的提出、某些实验设计的原理和一些物理定理定律的拓展研究等,都需要借助极限思想和微元法．

首先，我们了解一下与极限思想有关的物理概念和物理名词．

在物理学中,很多概念的提出都必须借助极限思想来完成．一般涉及“瞬时”的概念,就意味着要将时间等物理量无限细分,例如一段时间可以被无限分割后成无穷多个时刻;一段时间内或一段位移内的平均速度、加速度或者功率、平均感应电动势等被无限分割后会出现某一时刻或某一位置的瞬时速度、瞬时加速度、瞬时功率、瞬时感应电动势等.当然,有些概念也涉及对空间的分割,如将一段位移无限分割会出现不同空间的位置，将一段电流无限分割后会出现电流元等．

其次，体会极限思想在实验原理设计上的妙用．

在物理实验中,人们虽然无法取到极限,但是却可以想办法去接近极限．光电门就是一个很好的例子：采用极窄的遮光条通过传感器来测量其遮光时间,以求获得更便捷、更准确的瞬时速度,它要优于测速度的其他实验方法，如频闪照片法测速度、打点计时器测速度等．

最后，非特殊运动情形下的物理规律的定量表达和物理公式的表述,有时也需要用到极限思想及微元方法来助推思维的发展．

无论是运动学还是电磁学,很多定律都是可以由极限思想及微元方法论证的,这也更加验证极限思想以及微元方法的重要性,下面我们按照方法分类论证．

1 图象面积法(微元法)

图1

用图象面积来求某些物理量的大小(如图1),是有关极限思想的重要考点,一般要满足横纵坐标物理量的乘积能表示一个新的物理量,如s=vt，W=Fs,U=Ed等．

物体做初速度为v0,加速度为a的匀加速直线运动,求物体经过t时间的位移.

图2

图3

同理不难论证:弹簧弹力做功和弹性势能公式(以弹簧恢复原长的过程为例).

弹簧伸长量变小的过程,W弹>0,由动能定理得W弹=Fx=ΔEk,由微元法求解面积得

特别提醒: 1)以上分析告诉我们,无论物体做怎样的直线运动,画出它v-t的图象,位移就是与x轴围成的面积,但是要注意速度是矢量,所以这里的面积是有正负之分的．同理,由W=Fs、v=at可知，W和v也可以通过F-s、a-t图象的面积进行求解,不过同样要注意物理量的标矢性．

2)有时所要求解面积的图形并不规则,可以考虑先求出函数解析式,再用定积分法进行求解．

图4

图5

2 圆和球的无限分割

在求解与曲线、曲面、球体相关的物理问题时,往往要用到“化曲为直”的极限思想．

1) 向心加速度公式是在几百年前由惠更斯提出的,下面我们来感受一下向心加速度公式的论证过程．

图6

2) 力学和电磁学“化曲为直”的典型案例.

图7

对圆的分割自古有之,而大多数都是分解圆弧,把圆看作一个正n边形,其中n趋于正无穷,对于此时的圆，弦长与弧长相等．无独有偶,除了惠更斯外,我国伟大的数学家祖冲之也运用这种方法算出了圆周率．

力学中“化曲为直”的典型应用就是滑动摩擦力做功的求解,经过“化曲为直”的极限思想结合微元法,容易得出:水平粗糙地面上运动的物体,滑动摩擦力做功Wf=Ffs，其中s是对地路程.

而电磁学部分“化曲为直”思想的典型应用是弯曲金属导线(化曲为直)切割磁感线发电.

求证:半圆形导线在垂直纸面的磁场中以速度v水平切割时,感应电动势大小E=2Brv．

图8

证明:将圆弧无限分割,每一小段近乎为线段．如图8,取出一小段进行分析有E=BΔlvcosθ,而Δlcosθ为该“线段”在AB上投影的有效长度,如此将每一段有效投影汇总,就得出E=2Brv．

3) 球类问题无限分割法.

求证:在匀质球层的空腔内任意位置处,质点受到球壳层引力的合力为零,即∑F=0．

图9

证明:如图9所示,一个匀质球层可以等效为无限多厚度可以不计的匀质球壳．任取一个球壳,设球壳内有一质量为m的质点,在P(任意位置)处,以质点所在位置为顶点,做两个底面积足够小的对顶圆锥．这时,两圆锥底面可以视为平面．

设空腔内质点到两圆锥底面中心的距离分别为r1、r2,两圆锥底面的半径为R1、R2,底面单位面积质量为ρ．根据万有引力定律,两圆锥底面对质点的引力可以表示为

根据相似三角形对应边成比例,有R1∶r1=R2∶r2,则两个万有引力之比为

因为两引力方向相反,所以引力的合力为零．

以此类推,球壳上其他任意两对应部分对质点的合引力为零,将整个球壳对质点的合引力积分后为零,故由球壳组成的球层对球壳内任意质点的合引力也为零,即∑F=0．

上述证明拓展了规律适用的范围,它遵从了由特殊到一般的普适性拓展思路．

最后，我们呈现一组用微元法解题的典型例子.

3 典例分析

分析动能定理是力对空间的积累效应,是功与能之间关系构建的桥梁,它能灵活地解决变力做功的问题．

图10

如图10所示，当一个物体受到的合力为恒力,以最简单的情况为例,分析物体运动过程.

当一个物体受到合力为变力时,将“位移”无限分割,在趋近于无限小的位移Δs中,物体所受合力可认为不变,则此时

以此类推

叠加求和得

拓展后的结论:变力做功动能定理仍然适用．

图11

分析动量定理是力对时间的积累效应,是冲量和动量变化关系的纽带,它可以解决变力对时间的积累问题．

图12

当一个物体受到的合力为恒力(如图12),仍然以最简单的情况为例,对物体运动过程进行分析.由牛顿第二定律得F=ma,由运动学公式得vt=v0+at,联立得Ft=mvt-mv0,即在恒力问题中动量定理成立.

当一个物体受到合力为变力时,将“时间”无限分割,在趋近于无限小的时间Δt中,物体所受合力近乎不变,则此时F1Δt=mv1-mv0,F2Δt=mv2-mv1,以此类推FnΔt=mvn-mvn-1.

叠加求和得

I合=F1Δt+F2Δt+…+FnΔt=mvn-mv0.

拓展后的结论:动量定理对于变力作用问题仍然适用．

图13

特别提醒: 微元法最大的难点在于先找到要无限分割的对象,是位移、时间,还是其他的物理量,这取决于最终我们要求解的物理量是什么,这是我们要格外注意的地方．

图14

将线框下落时间t无限分割,每小段近乎匀速,由动量守恒定律得

…

汇总求和得

其中每一段近乎匀速的位移累加有

v1Δt+v2Δt+…+vnΔt=s,

解得

总之,运用极限思想和微元法解题时,其步骤可概括为:对于被考查的未知状态量,先设法构思一个与它有关的变量,确认无限个此变量的和就是所求的未知量，最后用极限计算得到结果．对于被考查的未知过程量,则用微元法求和来解决．熟悉极限思想,善于运用微元法,对于理解和掌握物理概念、定律、定理，解答物理问题很有帮助．