立足“PME”理论：发展学生数学“核心素养”

任天峰

摘  要：学生的数学素养，概括起来主要有三个方面的内容，即“抽象”“推理”和“模型”。立足于“PME”理论，探寻“核心素养”时代背景下的数学教学，就是要不断研究培养学生抽象、推理和建模的素养。通过对学生学习心理的研究，有助于推动数学课程改革向纵深推进。

关键词：小学数学;“PME”理论;核心素养

数学教学心理学研究是数学教学研究的一个基础性领域。国际数学教育心理学研究大会（简称“PME”）迄今为止已经成功举办了40届，第44届大会将于2020年在北京师范大学举行。国际数学教育心理学研究大会研究的内容非常丰富，而其出发点都是学生的数学学习心理。本文立足于“PME”理论，探寻“核心素养”时代背景下的数学教学，重塑学生数学学习心理学。通过对学生学习心理的研究，助推数学课程改革向纵深推进。

一、立足“PME”理论：培养学生的抽象素养

“PME”理論认为，学生的抽象思维水平，从心理上看主要分为三种不同的水平，首先是“能在情境中直接抽象出数学概念和规则，能主动对特例进行归纳形成命题，对所学方法进行简单的模仿性运用”;其次是“能在情境中抽象出一般概念和规则，将数学命题进行推广”;再次是“能在情境中抽象出数学问题，并用数学语言来表达，能在已有数学结论基础上归纳形成新的命题”。

PME研究认为，学生抽象学习心理是从具体表象到本质概括，从符号表征到深层迁移的逐步深化过程。教学中，教师要根据学生抽象思维形成特点，引导学生进行抽象。数学抽象的过程是一个去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的过程。抽象的方式很多，概括起来讲主要有“弱抽象”“强抽象”“表征性抽象”“建构性抽象”以及“原理性抽象”等。比如教学“倒数的认识”（苏教版六上），笔者从倒数的本质——“乘积是1的两个数互为倒数”出发，充分运用学生思维的直观性心理特质，通过引导学生画“长为1、宽为1”“长为2、宽为■”“长为3、宽为■”的长方形，学生直观地看到，一个数越大，它的倒数就越小;一个数越小，它的倒数就越大。同时，充分运用学生思维具体性的心理特质，引导学生求出一些分数单位的倒数、整数的倒数、真分数的倒数以及大于1的假分数的倒数等，从而归纳、概括、抽象出这整数倒数的特征。

数学抽象可以帮助学生更好地体会数学知识的本质。英国数学家斯根普、施瓦茨等人认为，个体数学抽象思维的产生包含了识别、整合和建构三个阶段，其中建构是关键。从PME视角看学生的数学抽象，要注重数学知识的过程教学，通过剥离数学知识的非本质属性，引导学生逐步识别数学知识的本质属性，进而建构数学知识的概念、意义等。

二、立足“PME”理论：培养学生的推理素养

学生的数学推理，概括起来主要有两个方面的内容，即“演绎推理与合情推理”。所谓“合情推理”，一般是指“从特殊到一般的推理（其形式主要有归纳推理、类比推理）”;所谓“演绎推理”，一般是指“从一般到特殊的推理（形式主要有演绎）”。波利亚认为，合情推理一般用于猜想，而演绎推理一般用于论证。“PME”理论认为，学生的推理水平，从心理上看主要分为三种不同的水平，“水平一”为“能在情境中用归纳或类比法，发现数量或图形性质、数量关系或图形关系”;“水平二”为“能在情境中发现和提出数学问题，并用语言表达，能用归纳、类比法提出数学命题”;“水平三”为“在情境中用数学眼光打量研究对象，提出有意义的数学问题”。

根据学生的数学推理心理特质，教师在教学中要为学生搭建“脚手架”，引导学生进行演绎推理、归纳推理和类比推理。比如教学“三角形的内角和”（苏教版四下），可以放手让学生进行探究。不同思维水平、心理特质的学生形成不同的推理。比如有学生通过测量、剪拼，形成锐角三角形的内角和是180°、直角三角形的内角和是180°、钝角三角形的内角和是180°之后，完全归纳出三角形的内角和是180°。有学生根据长方形的内角和是180°，沿着长方形对角线将长方形分成两个直角三角形，从而演绎推理出直角三角形的内角和是180°;接着，学生沿着高分别将一个锐角三角形、钝角三角形分成两个直角三角形，从而演绎推理出任意一个锐角三角形和钝角三角形，其内角和都是180°。在此基础上，完全归纳出三角形的内角和是180°。学生的推理能力发展不是一朝一夕的事，它需要教师的悉心培育。教学中，教师要引导学生将合情推理与演绎论证融合起来，不断提升学生的推理素养，让师生的推理教与学走向高效。

推理是学生数学学习的必备品质，也是学生数学核心素养的重要组成部分。在“PME”理论看来，学生的推理贯穿于学生数学学习的始终。作为教师，应当依据学生年龄、心理特征等，根据数学知识的特质等引导学生进行推理。通过推理，让学生关注数学知识中所蕴含的数量关系以及表面特征背后的内在关联、本质等。

三、立足“PME”理论：培养学生的建模素养

学生的数学抽象、推理，最终都是为了建立数学模型。所谓“数学模型”，是指“对实问题进行抽象，用数学语言来表达问题、用数学方法来分析问题、解决问题的过程”。在“PME”理论看来，学生的数学建模从心理水平上看也分为三种不同的水平，即模型理解、模型运用和模型创新。所谓“模型理解”，是指“对知识模型本质、类属以及与其他知识的联系的理解”;所谓“模型迁移”，是指“学生能根据已有建模经验、知识等同化或顺应新知识的过程”;所谓“模型创新”，是指“对新知识的把握和领悟”。立足PME”理论，可以培养学生的建模素养。

小学数学中的“数学模型”，不仅包括“公式模型”，而且包括“方程模型”“集合模型”“函数模型”等。比如教学“圆柱的体积”（苏教版六下），在引导学生通过对圆柱进行平均分割，转化成长方体（模型理解），得出了圆柱体的体积计算模型后，笔者引导学生回忆旧知，将长方体的体积公式、正方体的体积公式与圆柱体的体积公式进行比较，从而归纳出直柱体的体积公式模型“V=Sh”。借助这个体积公式模型，学生在学习过程中还画出了“三棱柱”“四棱柱”“五棱柱”等，从而进行“模型迁移”“模型推广”。通过“模型迁移”“模型推广”，不断发展、提升学生的建模素养。在数学建模过程中，教师要揣摩学生的建模心理，引导学生灵活辨别、选择，从而引导学生掌握数学建模思想。这是“PEM”理论视野下小学数学建模教学的根本价值和意义指向。

数学模型是小学数学教学的重要组成部分。从某种意义上说，学生数学学习的过程就是数学建模的过程。作为教师，要研究学生的建模心理，遵循学生数学建模的心理规律、特质，引导学生逐步经历数学抽象、推理的过程，从而提炼、概括出数学模型。作为教师，要主动研究“PEM”理论，从而不断引导学生进行模型建构、模型迁移、模型运用、模型创新，赋予学生数学学习生命不断生长的力量。