一种数学建模课程多元化考核评价模型研究

(浙江工业大学 理学院，浙江 杭州 310023)

为全方位地定义优秀人才，三位一体、自主招生等多种多元化招生考核方式打破了传统高考一考定终生的模式。但作为培养优秀人才的摇篮，国内高校普通课程考核采用较为单一标准化考试为主，缺乏对学生创新能力、素质拓展以及实践能力的考查。因此，传统课程考核方式存在如下弊端：1)将考试等同于考核，使得学生在学习过程中逐渐形成“唯分论”的学习态度，一切向期末标准化考试看齐。2)缺乏培养学生课后自主学习的意识与习惯。由于高校课程的课时数有限，导致学生对所学知识掌握不够扎实。3)忽视学生实践能力的培养，学习的理论知识无法和专业实践紧密结合，形成部分学生“高分低能”的现象。

为了解决以上问题，国内学者陆续关注高校课程多元化考核方式，并逐渐成为高校课程教学研究的热点之一[1-5]。例如，刘军等结合《机械创新设计》课程特点，从学生的学习态度、理论水平、实践水平、创新能力四个维度入手建立一种基于模糊综合评价的课程考核体系[1]。通过学生在课程学习过程中的表现对学生的课程学习效果进行多元化考核。田夏等借鉴上海交通大学“三位一体”招生考核模式，结合层次分析法与模糊综合评价两种方法建立多元化考核体系，从对知识、能力、人格养成三个维度入手建立多元化考核体系，并应用于学校实践教学的考核[2]。刘军和田夏等所提出的多元考核评价体系都是建立在模糊评价数学模型基础之上，模型的特点适用于定性的五分制考核模式(优秀、良好、中等、合格、不合格)，无法量化百分制得分，具有一定的局限性。陈月明等结合《物流系统规划与设计》课程特点，从过程性、总结性、关键能力三个维度入手提出一种多元化考核模式[3]。卢科青等从现场识图、创新设计等六个维度入手提出一种适用于图学类课程的多元化考核模式[4]。陈月明和卢科青等虽然明确提出相关课程的多元化考核维度框架，但缺少定量化的计算方法，考核具体可操作性并不强。冷慧廷等从高校政策角度出发，探讨了一些实施多元化考核的保障措施和现实意义[5]。以上研究表明：越来越多的教师意识到当前高校课程考核方式存在的问题。尤其是针对学生创新能力培养而开设的课程，课程的培养目标要求学生能够将理论知识与实践能力紧密结合。如数学建模、智能机器人等课程，单纯的标准化考试无法全面衡量学生的学习成果。目前，研究者所提出的一些多元化考核体系都存在一些可操作性方面的问题。为此，笔者以高校数学建模课程为例从学习态度、创新意识和实践能力三个方面出发，构造课外网络学习、课程实践、期末测验、到课表现、作业练习五个量化指标，建立修正的理想点法数学模型对学生进行多元化考核。

1 数学建模课程的多元化考核评价体系

国内高校的数学建模教育起始于20 世纪90 年代。课程内容不仅包括各种数学模型的理论知识，更加强调针对具体问题建立数学模型的过程。同时，由于课程具有实践学时少、理论内容多、知识范围广等特点，使得任课教师一直受困于课程考核方式。而且，单一标准化考试方式对于学生的考核并不全面，所得结论存在偏差，也不利于引导学生全方面发展。为此，笔者提出一种适用于数学建模课程的多元化考核体系，如图1所示。

图1 数学模型课程多元化考核体系

为全面考核学生课程成绩引入学习态度、创新意识和实践能力三方面作为一级指标建立评价体系，如图1所示。为便于考核的定量计算，将三个一级指标进一步分解为课外网络学习、到课表现、课程实践、作业训练、期末测验五个二级指标。其中，利用课外网络学习、到课表现度量学生的学习态度，利用课程实践与作业训练度量学生的实践能力，利用期末测验度量学生的创新意识。

2 体系量化指标构建方法及理想点模型

通过获取学生五个二级指标的数据进行定量化计算，并采用修正的理想点法模型量化该学生的课程成绩以详细介绍二级指标数据获取方法以及计算模型。

2.1 量化指标获取方式

为获取多元化评价体系二级指标的数据，依托教学团队建立的网络课程学习平台，由平台提供原始数据支持。学习态度的二级数据获取方式如下：为克服传统课程课时有限以致学生无法在短时间内吸收知识的困境，任课教师引导学生于课后在网络平台自主学习，并由平台记录该学生的学习时长，以此培养学生自主学习的习惯，以x1(i)表示学号为i的学生在平台累积学习课时。依据学生学期内到课情况度量该学生的到课表现，以x2(i)表示学号为i的学生课程到课率。实践能力的二级数据获取方式如下：在教学期间安排为期一周的课程实践训练，以此培养学生理论知识与实践项目相结合的能力。此环节要求学生针对企业项目需求自主建立数学模型并编写计算机程序求解，最终提供一份完整的解决方案，以x3(i)表示学号为i的学生课程实践得分。网络课程学习平台设有按照知识点与难度分类的题库，学生可以在课后自主选择题目进行针对性训练并上交教师批阅，以x4(i)表示学号为i的学生作业训练得分。创新意识的二级数据获取方式：期末安排一场关于创新意识的考试，以x5(i)表示学号为i的学生期末测试得分。课程结束后，任课教师可以获得班级内某学号为的学生考核向量为

X(i)=[x1,(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i)]

(1)

2.2 修正的理想点数学模型

由于向量中不同维度信息的量纲与数量级不同，不能直接进行比较建模，需要在模型计算前进行数据预处理。如x1(i)的单位量纲为学时，x2(i)的单位量纲为百分比等等。只有完成去量纲、去数量级变换后的数据才可以进行相互比较与计算。数据去量纲、去数量级的方法有很多[6-7]，笔者采用“最值化”处理。所谓“最值化”处理是指每个学生的指标除以所有学生该项指标的最大值，其计算式为

(2)

理想点法数学模型是一种相对性评价体系，每位学生的考核向量与最优秀的考核向量(正向理想向量)、最不优秀的考核向量(负向理想向量)进行比较。正向理想向量是指所有指标的最优值构成的一组“虚拟”考核向量PX[8]。负向理想向量是指所有指标的最劣值构成的一组“虚拟”考核向量NX。具体构造方式为

(3)

由于对数据预处理采用了“最值化”处理方式，因此正向理想向量是一组全1的向量。但在课程考核过程中采用相对评价体系存在一个明显的缺陷：即使所有的学生表现得都非常优秀，成绩最低的那位同学考核得分仍为0。这是由于最不优秀的考核向量采用的是相对值，而非绝对值。因此，建立修正的理想点法模型对五项二级指标进行融合。修正的模型核心在于构造正向理想向量时采用相对性值，构造负向理想向量时采用绝对性值。修正后的负向理想向量构造方式为

(4)

采用修正理想点法考核的基本思想：学生考核向量越接近正向理想向量PX越好，越远离负向理想向量NX*越好。因此，需要计算每个学生的考核向量X(i)与两者之间的距离，其计算式为

(5)

式中：DP(i)表示学号为i学生的考核向量与正向理想向量的距离；NP(i)表示学号为i学生的考核向量与负向理想向量的距离。

综合每位学生的两个距离信息DP(i)与NP(i)，该学生的最终考核得分s(i)为

(6)

式中：当学生在五项指标都达到最优值时，该学生与正向理想向量的距离DP(i)=0，此时得分s(i)=100。

基于修正理想点数学模型的课程考核计算流程如图2所示。

图2 体系计算流程图

3 应用案例分析

为更深入地阐述多元化评价体系的计算流程，结合浙江工业大学某学期数学建模课程的考核案例进行分析说明。通过一学期的学习，任课教师得到班级内各学生在各项二级指标上的原始数据如表1所示。

表1 学生信息原始数据

运用式(2)对于原始数据进行最值化变换，得到变换后的数据，如表2所示。

表2 数据变换后的数据

运用式(5，6)计算班级27名学生距离正向理想向量的距离与负向理想向量的距离，从而获得该课程的考核得分，如表3所示。

表3 所有学生考核信息表

从表3中可见：课程考核最高分为4号学生的92.9 分，课程考核成绩最低为24号学生的57.6 分。计算后获得学生课程得分数据的直方分布[9]情况，如图3所示。由图3可见该班级学生课程考核得分数据近似服从正态分布。

图3 得分数据直方分布图

进而，依据每位学生在五个维度的表现绘制雷达图[10-11]进行多维数据可视化分析，如图4所示。本模型采用的雷达图为一幅正五边形图形，图形的五条内棱长分别代表某位学生五个维度的得分。学生在各维度的得分取值为[0,1]之间的数，五个得分便形成一张小的五边形。某学生形成的小五边形越接近大五边形说明该学生的综合表现越好，考核得分越高。通过雷达图可以有效地分析每位学生的优势与不足之处，以便制定针对性地提高策略。

图4 部分学生的考核雷达图

从图4中可发现：1号学生和4号学生所形成的雷达图较为靠近大的五边形，他们的得分也较高，分别为91.3分与92.9分。尤其是4号学生，其网络学习课时、到课表现、课程实践、作业训练均为所有学生的最高分。24号学生与27号学生所形成的雷达图面积较小，他们的得分分别为57.6分与59.2分。24号学生在网络学习课时、作业训练等方面表现得都不好。

4 结 论

以数学建模课程为例，提出一种多元化课程考核方案。针对学生的学习态度、实践能力与创新意识，构建了网络学习时长、到课表现、课程时间、作业训练与期末测试五个二级指标进行量化计算。通过修正的理想点法数学模型确立相对化的正向标准与绝对化的负向标准，将五个二级指标有效地融合成课程考核得分。最终，通过雷达图对每位学生的课程表现进行可视化分析。所提出的考核体系可以有效地解决传统课程考核存在的一些问题，具有一定的有效性与可操作性。

本文得到了浙江工业大学课堂教学改革项目(KG201728，KG201729)的资助。