关于Hardmard乘积下和幻方迹的若干不等式

刘娟娟，刘兴祥，张 婧

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

幻阵学是矩阵理论中非常重要的内容，其广泛应用于密码学、文件管理、人口流动等方面。而幻阵学对于研究矩阵不等式的相关问题也有很大价值和影响，其中幻阵学的分支——和幻方的定义及其迹的不等式前人还没有研究过。本文在给出和幻方相关定义的基础上，主要研究了关于Hardmard乘积下和幻方迹的几个简单的不等式，对于丰富矩阵不等式的研究内容，完善矩阵不等式的框架体系具有重要意义。

1 和幻方的相关定义

定义1 设F是数域，如果矩阵A=(aij)n×n∈Fn×n满足

则称矩阵A称为数域F上的n阶弱和幻方，并称Sw为数域F上n阶弱和幻方A的弱幻和。

定义2 设F是数域，如果矩阵A=(aij)n×n∈Fn×n满足

则称矩阵A称为数域F上的n阶和幻方，并称S为数域F上n阶和幻方A的幻和。

2 矩阵不等式

角元，则有tr(A∘B)≤trA·trB。

由Cacuchy不等式可知tr(A∘B)≤trA·trB成立。

引理4[5,6]设A为n×n阶Hermite半正定矩阵，则trAn≤(trA)n。

3 和幻方的不等式

定理1 设矩阵A，B分别为数域F上的n阶和幻方，幻和分别为SA，SB，其中A=C*C,B=D*D,C,D为数域F上的n阶Hermite半正定矩阵，则tr(A∘B)2≤(SA·SB)2。

(SA)2(SB)2=(SA·SB)2，

所以tr(A∘B)2≤(SA·SB)2成立。

推论1 设矩阵A，B分别为数域F上的n阶和幻方，幻和分别为SA，SB，其中A=C*C，B=D*D，C，D为数域F上的n阶Hermite半正定矩阵，则tr(A∘B)n≤(SA·SB)n。

(SA)n(SB)n=(SA·SB)n，

所以tr(A∘B)n≤(SA·SB)n成立。

证明：采用第一数学归纳法来证明：

n=1,trA1=SA1，

n=2,tr(A1∘A2)=trA1·trA2=SA1·SA2，

假设n=k时命题成立，即

当n=k+1时