高数中求解函数极限的方法探究

胡延儒

摘 要：极限是微积分中的重要概念，也是微积分学中各种计算方法的基础之一，所以为了能够进一步提高函数极限计算能力，需要寻找一种更加科学、有效的计算方法，因此在本次研究中，将会在了解函数极限相关概念的技术上，了解各种函数极限的计算方法。

关键词：高数;函数极限;求解方法

极限是高数中的基本函数研究工具，能够帮助同学加深对极限思想的理解，所以在高数中必须要掌握函数极限的求解算法。而在未来高数学习中，需要深化相关人员对极限概念的理解，这样能够加深同学的抽象概念以及逻辑思维能力，使学生的思维水平能够从宏观维度发展至微观维度，并更好的掌握其他科學的知识。因此在高数学习中，掌握函数极限的求解方法已经成为重点内容。

一、函数极限学习

（一）函数的概念

函数的极限与数列的极限比相对类似，在学习中可以考虑自变量x→+∞时，f（x）会呈现出相应的变化趋势;也可以考虑，当自变量x→a时，f（x）所呈现出的变化趋势。当然与数列的极限相比，函数的极限显然具有更复杂的难度，而造成这一情况的主要原则，就是因为函数本身的自变量变化性质是不同的，在多样化的变化特征下，会导致函数极限的变化更加复杂。但是在学习是可以发现，针对函数极限的这种复杂性，很多情况下都体现在了对极限定义的叙述上，而在其他方面，包括极限的运算、性质以及相关的证明方法都与数列极限十分相似。

（二）函数的性质

如果想要用函数的极限做进一步计算，而其中的重点内容就是要掌握函数性质，在保证熟练运用的情况下，提高解题效果。在学习过程中，可以按照下列的函数极限性质进行解题，其中的关键点包括：（1）函数极限有界性，则按照f（x）→A（x→x0）的要求，则有x0在任意去心邻域的f（x）有界;（2）函数极限具有唯一性特征，在x→x0时，f（x）存在极限，此时的这个极限是唯一一个;（3）函数极限体现在局部保号性上，同样假设f（x）→A（x→x0），且A小于0或者大于0，则相对应有r<-A或者rr>0情况，或者f（x）<-r<0。（4）函数极限具有迫敛性特征，假设有函数g（x）≤f（x）≤h（x）时，并且同时满足limg（x）=A，limh（x）=A的条件后，则有imf（x）存在，并且与A相同。

而根据现有的学习经验可知，由于函数极限的计算方法分为很多种，同学们的掌握难度较大，所以在问题计算过程中，必须要积极转变传统理念，在解决问题过程中，把握函数极限的结构特征，争取能够实现一题多解，这样才能全面提高问题的解题效率，并让同学们感受到问题的解题趣味，最终感受到学习数学的乐趣[1-2]。

二、函数极限的求解方法

（一）通过极限的描述性定义

在函数极限求解过程中，可以按照极限的描述性进行分析，此时的函数极限运算过程中，需要考虑：假设自变量的绝对值|x|无限增加，此时的函数f（x）也会表现出相应的变化特征，并且与常数A是无限接近的，此时可以认为x趋向无穷大的情况下，f（x）以A为极限;或者f（x）收敛至A时，可以记为f（x）→A（x→x0）或者A。结合上述的描述可以判断，在描述性说明期间能够做函数极限估算，这种操作方法十分简单且便捷。在大部分情况下，初等函数极限可以按照描述性定义进行分析，并在与图像做综合分析之后，也能得出类似结论。但是同学们在函数极限求解过程中，还是需要充分掌握初等函数极限的特征，这也是计算出复杂函数的基础理论，这样才能有效避免计算错误的问题发生。

（二）通过重要极限计算函数极限

通过重要极限计算函数极限期间，可以按照不同的算法做出调整。

（1）重要极限1。在中，x与sinx是两个完全不同函数，在函数计算过程中，可以通过该极限来促使一次函数与三角函数之间建立关系，在经过这种处理之后，能够让两者之间的比值得以实现。此时要注意的是，该极限具有十分广泛的应用价值，并成为解决实际问题的有效方法，假设有题①。

在该函数极限的计算过程中，其解题思路为：

在该重要极限的计算过程中需要考虑的问题是，当x接近于无穷的情况下，则x1趋近于0，则该条件与上个重要极限是相同的，必须要满足上述条件才能使用，但是还需要考虑一个特殊情况，若使得x=1/y，而因为x→∞，所以y→0，则在计算过程中，该重要极限可以采用下列方法做代换，此时在代换后则有：

在按照上述方法做处理后，能够得出重要极限的另一种计算方法，所以在函数极限的过程中能将该极限扩充为两个极限，分别为与;在极限运算过程中，还需要对相关数据进行分析，了解x趋近的是∞还是0，若有x→∞，则括号内必须为1/x，此时的指数为x;若有x→0，则括号内为x，以1/x为指数。在函数极限的运算过程中，必须要考虑上述数据的对应关系，若发现任意一点无法匹配，则这种相对应的重要极限无法使用。

（三）其他算法在函数极限计算中的运用

通过极限的描述性定义求解。从当前的函数极限算法经验可知，通过极限的描述性定义求解是一种有效的计算方法，有很多关于极限的问题都能通过这个方法进行计算，此时关于极限定的定义描述为，假设自变量x的绝对值为|x|，且|x|是无限增大的，在相关条件不发生改变的情况下，函数f（x）值会与某常数的值无限接近，则这个计算过程可以认为：当自变量x趋向无穷函数的情况下，A就是x的函数极限，那么根据这个特征，可以将x缩小到A，可以计算为x→A（x→∞），并且结合上面的定义描述内容，能够求解函数的极限，这也是一种相对简单的计算方法[3]。

三、结束语

在高数中求解函数极限过程中，本文所介绍的各种函数极限算法具有可行性，通过上述方法能够通过套用的方法，直接计算出最终结果，具有科学性。总体而言，在高等数学中，函数极限运算已经成为其中的重点内容，对同学们的高数运算能力具有重要影响，因此同学们需要按照问题的不同情况做求解，这样才能在短时间内获得问题的正确答案，提高解题效率。

参考文献

[1]金波，周旺，唐丽莹，等.正常使用极限状态下隐式功能函数结构可靠度计算[J].湖南大学学报（自然科学版），2020（01）：116-122.

[2]郭俊梅.高职高数一元函数极限求法探讨[J].佳木斯职业学院学报，2017（03）：313.

[3]李兴贵，饶若峰.高等数学教学中的中学数学知识衔接思考[J].成都师范学院学报，2017，33（01）：122-124.