PISA下一次函数行程问题的图象表征

【摘要】初中数学一次函数实际问题常以行程问题呈现，直观展示甲、乙两对象的行程、速度、时间的一次函数关系，速度为常数而常见于各类行程问题。PISA下以学生反馈为例，综合分析学生思维过程，引导学生理解，并学会绘制函数图象，培养表征基本能力。

【关键词】PISA  一次函数  行程问题  图象  表征

“基于PISA测评三角的初中数学测评模式研究”以课堂学习为基础，研究初中学生的数学素养及其测评。表征，是PISA测评中数学七种基本能力之一，旨在解决问题的过程中，使用数学工具解释、翻译、描述数学问题和情境。

人教版数学八年级下册P108页有这样一道复习题：A、B两地相距25km。甲8：00由A地出发骑自行车去B地，平均速度为10km/h;乙9：30由A地出发乘汽车也去B地，平均速度为40km/h。①分别写出两个人的行程关于时刻的函数解析式;②乙能否在途中超过甲？如果能超过，何时超过？从反馈来看，学生不知如何画函数图象，其表征能力欠缺。复习课中要引导思考，提升表征能力。

一、确定计时起点，直观表征题干信息

（一）以8：00为计时起点，求函数解析式

第（1）问，设甲、乙的行程分别为y1km、y2km，时间为xh。此题的一个难点之一就是学生不易确定计时起点，当教师启发学生确定8：00为计时起点0 h，那么9：30即为1.5 h，学生易得出：y1=10x（x≥0），y2=40（x-1.5）（x≥1.5），即：y1=10x（x≥0），y2=40x-60（x≥1.5），其图象如图1所示。

甲、乙的速度分别为v1=10km/h、v2=40km/h，即行程y1、y2是关于时间x的一次函数，考虑到图象绘制的便捷性，尽量使其中一条直线过原点，此时的一次函数即为正比例函数，这样就需要考虑“哪个函数图象上的点（x，y），即点（时间，行程）的坐标为（0，0）”，学生自然理解其含义为：当时间x=0时，行程y=0，即计时开始时，甲（或乙）正准备出发1。

（二）以0：00为计时起点，求函数解析式

虽然以8：00为计时起点比较科学，但是仍有部分学生习惯以0：00为计时起点，于是引导学生思考讨论得出：y1=10（x-8）（x≥8），y2=40（x-9.5）（x≥9.5），即：y1=10x-80（x≥8），y2=40x-380（x≥9.5）。

由于以0：00为计时起点，甲、乙均没有“正准备出发”，到了8 h时，甲才“正准备出发”，所以甲的图象过（8，0），并且在第一象限内行程y1随时间x的增大而增大，所以定义域为[8，+∞）;到了9.5 h时，乙才“正准备出发”，所以乙的图象过（9.5，0），并且在第一象限内行程y2随时间x的增大而增大，所以定义域为[9.5，+∞）。这里有个绘图小技巧：由于平面直角坐标系中，当横轴和纵轴表示的含义不一样时，单位一般是不一样的，于是横轴的单位1与纵轴的单位1可以不等长，于是可以在横轴上运用“压缩轴”符号表示，若纵轴需要，亦然。

（三）以9：30为计时起点，求函数解析式

经过启发，学生提问：可否以乙的出发时间为起点呢？于是学生以9：30为计时起点，求甲、乙行程与时间的一次函数解析式，得：y1=10×1.5+10x（x≥0），y2=40x（x≥0），即：y1=10x+15（x≥0），y2=40x（x≥0）。

由于实际问题中的行程y和时间x均为非负数，所以该函数图象可以只用第一象限部分来表示。以9：30为计时起点时，乙的行程y=0，即乙的图象是过（0，0）的一次函数;而甲从8：00到9：30实际上已经行驶了1.5小时，此时甲在乙的前方距离乙10×1.5=15（km）处，所以甲的图象的截距b=15，二者均是增函数，于是得出图3。

二、由特殊到一般化，抽象表征题干信息

三轮启发后，学生思维异常活跃，开始思考以任意时间m为计时起点的情况。

（一）从计时起点分类来分析

通过学生的独立思考、合作交流，将问题一般化，分类讨论得出：

①当0≤m≤8时，y1=10[x-（8-m）]（x≥8-m），y2=40[x-（9.5-m）]（x≥9.5-m），即：y1=10x+10m-80（x≥8-m），y2=40x+40m-380（x≥9.5-m）。

②当8

③当m≥9.5时，y1=10×（m-8）+10x（x≥0），y2=40×（m-9.5）+40x（x≥0），即y1=10x+10m-80（x≥0），y2=40x+40m-380（x≥0）。

综上，y1=10x+10m-80，y2=40x+40m-380（取第一象限部分的图象）。

（二）从函数图象平移来分析

实际上，学生在进一步学习“左加右减”的坐标平移法则后，不难得到图1中的函数图象向右平移p个单位后的函数图象：y1=10（x-p），y2=40（x-p）-60。

①当p=0时，表示图象未平移，即计时起点为8：00。

②当p>0时，表示图象向右平移p个单位，即计时起点为8：00以前p小时。

③当p<0时，表示图象向左平移p個单位，即计时起点为8：00以后p小时。

上述三种情况，两条直线相交于点（p+2，20），即当时间为（p+2）h时，乙赶上并开始超过甲，此时行程为20km，第（2）问得解。

三、“四步法”绘制行程问题的函数图象

“四步法”的第一步是绘制横轴、纵轴时，需明确横纵轴表示的含义、用哪个字母表示，单位是什么;第二步，标出横纵轴的“特殊刻度”，比如横轴上，以8：00为起点0，那么9：30记为1.5，甲、乙相遇时刻10：00记为2;第三步，确定函数图象的“特殊点”：起点、终点、最低点、最高点、转折点、交点等，特别是交点坐标的求解;第四步，描点、连线即可。

综上，由于横纵轴表示的含义不一样，自然就可以灵活调整横纵轴“单位1”的长度，也可根据需要表征出压缩轴。数学表征能力的培养对学生解码文本，理解题干的含义，用直观的符号、图形语言转换并表达出数学问题情境，揭示数学问题的本质起着关键作用。

基金项目：贵州省基础教育科研重点课题（2016A005）基于PISA测评三角的初中数学测评模式研究。

作者简介：高小军，遵义师范学院附属实验学校高级教师，西南大学国培计划项目培训教师，贵州省教育智库专家成员、省名师工作室成员，遵义市教学名师、骨干教师，主要从事初中教育管理及研究。