在立体几何教学中利用“几何图霸”培养学困生直觉思维的实验教学探究

陈勇玲 黄木凤

【摘 要】本文以高二学生为教学对象，在立体几何教学过程中利用“几何图霸”辅助工具帮助学生建构立体图形概念，培养学生的空间感与直觉思维;实验结果表明利用“几何图霸”辅助教学，能较好地提高学生的成绩，改善学生对立体几何模块学习的态度。

【关键词】立体几何教学 几何图霸 直覺思维

【中图分类号】G  【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）34-0146-03

《义务教育数学课程标准 2011 年版》强调要重视直观，处理好直观与抽象的关系。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜想，鼓励学生进行创造性思维。徐立治先生认为，直觉指的是对事物本质的直接领悟或洞察。数学直觉就是对数学对象（结构及其联系）的某种直接领悟或洞察。在实践研究中，赵思林、朱德全以高中生为研究对象，研究得出直觉思维可以帮助学生分析数学现象，猜想数学命题中的解题思路，缩短思维时间培训，获得数学灵感等结论。

新课标中的立体几何教学，在延续了传统的几何法的同时，引入了向量法。胡干彪通过测试的研究方法，对利用几何法和向量法教立体几何的效果作了对比，并对学生进行相关的问卷调查，以及对教材的特点、学生的认知特点和思想方法进行分析，发现用向量法讲解立体几何可降低难度，易于为学生接受。基于这样的实验结果，笔者针对普通高中学生空间想象和空间思维能力相对薄弱的学困生，运用“几何图霸”软件辅助立体几何教学，发现它对学生空间想象能力、空间思维能力、直觉思维的培养及在解立体几何题中具有比较好的促进作用。

“几何图霸”是三维动态的图形软件，是一款新的且较好的立体几何数学实验与课件制作工具，它易懂且易学，可以在课堂上快速制作出常见的立体几何图形，具有比例放大缩小、上下左右移动、旋转功能。在课堂上教师利用它可向学生展示相关立体图形，让学生直观具体地观察、分析立体图形，引导学生多动手、多思考，激发学生的探知欲望和研究的兴趣，培养学生的数学直觉思维。

一、实验教学概述

本研究的思路是根据数学直观思维和“几何图霸”辅助立体几何教学相关理论，以立体几何中的向量法及三视图为教学内容，设计实验研究，利用“几何图霸”设计教学案例。在本校普通高中的平行班中选取对照班和实验班展开教学实验，在实验后采用测验调查和问卷调查法，分析“几何图霸”在立体几何教学中对学困生的空间感、数学直觉思维培养的作用。通过教学实验，提高学困生在解立体几何题目中的数学直观思维的应用能力。

二、实施实验教学的具体措施

学生在立体几何模块的学习中存在较大困难，一方面，学生的空间感不强，面对一个立体图形，难以想象其中的线面位置关系;另一方面，传统的教学方式，呈现在学生面前的是静止的立体图形，学生看不到立体图的其他角度的形状，无法想象被挡线面的位置关系。针对这些问题，在教学中借助“几何图霸”辅助教学，利用“几何图霸”的转动功能将立体图形转动，让学生看到一个真实完整的立体图形，培养学生的空间感和直觉思维。

（一）利用“几何图霸”辅助教学，培养学生的几何空间意识

在实验班的教学过程中，尽可能多地使用“几何图霸”辅助教学。首先，在学生刚接触立体几何这个模块时，利用“几何图霸”快速向学生展示各种常见的立体几何图形，如正方体、长方体、三棱柱、三棱锥、三棱台、圆锥等，并且旋转不同的角度让学生观察，增强学生的空间感，建立一定的立体几何图形基础。其次，在平时习题讲解中，遇到不好观察立体图形的角度，课前制作好课件，并在课上展示以辅助教学。在教学中融入大量的课例，逐步培养学生的空间感与直觉思维，培养学生的几何空间意识，使学生在今后的解题过程中能下意识地想起相关的立体图形，并借助直觉思维初步做出判断，然后利用相关定理、公式进行逻辑推理及证明。

（二）利用“几何图霸”直观地展示几何图形，培养学生的空间感和直觉思维

在以往的教学中，对立体几何的教学，通常都会用实体模具供学生观察，然后抽象出课本的静止图形，但是缺少一个由实物过渡到只有点、线、面组合的立体图形的过程。这是一个关键的过程，利用“几何图霸”可以很好地帮助学生从实物阶段过渡到点、线、面的立体图形阶段。例如，在讲授一个圆台上放一个球的三视图时，可以先展示实体状态，如图 1，然后过渡为透明状态，如图 2，可以直观地清楚地看到几何体的轮廓，最后抽象为只有点、线、面的立体图形，如图 3，而且展示的三个阶段的图形都可以任意旋转角度。这个过程让学生更直观地观察立体图形，通过这三个状态的过渡，培养学生的空间感和直觉思维。

（三）利用“几何图霸”指导学生观察、建坐标系、分离平面图形

在立体几何大题解题过程中，建立空间直角坐标系是第一步，也是困难的一步。建立坐标系需要学生在图形中找到三条直线两两垂直的条件，如果空间想象能力匮乏，那么会把原本垂直的位置关系看成斜相交关系。因此，在例题讲解中使用“几何图霸”制作相应的立体几何图形，向学生展示立体图形不同方位的状态，初步让学生找到垂直条件，再利用逻辑推理证明这个结果，确定坐标系原点，凭借直观感觉建立空间直角坐标系。建立坐标系以后，学生还会难以确定某些非坐标轴上的点的坐标。针对这个问题，如果只是让学生观察静止的图形，那么还是不够的。教师要利用软件操作课件，转动立体图形，引导学生观察立体几何图形不同方位的状态，观察点在平面内的相对位置，然后分离出平面图形，再通过线段与角度的关系计算出点的坐标。例如，2019 年高考浙江卷第 19 题：

如图 4，已知三棱柱 ABC-A1B1C1，平面 A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E 和 F 分别是 AC 和 A1B1 的中点。（1）证明：EF⊥BC;（2）求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值。

一看到这个立体图形，有些同学认为线段 A1C、EF 是相交直线，这时，教师可以旋转图形到图 5 的位置，学生可以清楚地看出线段 A1C 与 EF 是异面直线，初步帮助学生看透这个立体图形。对于第（2）问来说，可利用向量法求线面角。首先，需要建坐标系，但这是一个斜三棱柱，题目中没有明显的三条直线两两垂直的条件。教师可通过转动几何体，并结合题目中所给的条件，引导学生找到竖直方向的垂直条件。易知，A1E⊥AC 于点 E。初步做出猜想，以 E 为原点建立坐标系。但题中没有现成的 x 轴，可以过点 E 做 AC 的垂线为 x 轴，这样即可建坐标系，如图 6。其次，建坐标系后，因为 B 点不在坐标轴上，所以学生要确定点 B 的坐标存在较大的困难。教师可以把几何体的底面旋转到合适角度让学生观察，如图 7，指导学生把底面分离出来，得到一个平面图形。在直角三角形 BPE 中，结合角度和边长的大小，计算出点 B 的坐标。

总的来说，“几何图霸”是一个三维动态的数学工具，里面有各种现成的立体几何图形，教师稍加研究就可以制作教学中常见的几何体图形。这些丰富的资源可以放到教室的电脑上供学生自主动手操作，让学生共同探讨、交流，培养直观思维;使学生通过操作，认识问题、发现问题、解决问题，攻克立体几何问题。

三、实验教学结果与分析

（一）实验前后成绩比较分析

2019 年 5 月之前，学校高二年级还没有教授立体几何的内容。在教授立方体几何内容之前，采用两次学业水平模拟考试中两道立体几何题目来测试学生掌握立体几何的情况。我们以两次模拟考试中的两道立体几何题的平均分作比较，发现实验班的平均分与对照班的平均分基本持平。结果如表 1 所示：

经过两个月的教学实验后，再对两个班进行考试，两次考试中立体几何内容，即试卷中有关立体几何的一道小题和一道大题都相同，测试的结果如表 2 所示：

实验前，实验班的平均分与对照班的平均分基本持平;实验后，实验班的平均分比对照班分别提高了 1 至 2 分。对实验前后的数据分析发现，利用“几何图霸”辅助立体几何教学对学困生有帮助，学困生的立体几何的成绩明显提高。从实际答题情况来看，实验班能建立空间直角坐标系的人数比对照班多。值得关注的一点是，虽然有部分同学缺少必要的逻辑证明能力，但是能凭直觉正确地找到坐标原点和三条直线两两垂直的关系，从而建立坐标系。由此可见，利用“几何图霸”辅助立体几何教学可以提高学生空间感和直觉思维。

（二）实验前后教学效果调查分析

实验后对实验班进行了问卷调查与访谈调查。从调查的数据发现，学生非常喜欢老师利用“几何图霸”辅助课堂教学。课中大部分同学会积极向老师提问、与老师互動，对立体几何模块的学习也更有兴趣。通过对实验班部分同学的访谈调查发现，他们觉得平时教学中用“几何图霸”三维动态展示立体几何图形，不仅有助于他们的空间想象能力的培养，而且使他们在做题时能更容易地建立空间直角坐标系，对直觉思维的培养很有帮助。

本研究是针对学校普通高中学生学习立体几何知识存在较大困难的情况下，使用三维动态画板“几何图霸”辅助教学，培养学生的空间感与直觉思维，以提高学生的考试成绩与数学学习的兴趣。教学实验结果显示，效果初显，可见这种教学方式对学困生的立体几何学习是有积极作用的。

【参考文献】

[1]徐利治，王 前.数学与思维[M].大连：大连理工大学出版社，2008.

[2]赵思林，朱德全.论事论数学直觉思维的培养策略[J].数学教育学报，2010（1）.

[3]胡干彪.对空间向量教学的调查、研究与思考[D].兰州：西北师范大学，2003.

【作者简介】陈勇玲，女，籍贯广西贵港，中学一级，现就职于南宁市第二十四中学，研究方向为信息技术与高中数学教学融合。

（责编 卢建龙）