培养学生解题能力

季林波

对高中数学而言，解题能力是学生的重要素养，因此教师要把提升他们的解题能力作为数学教学的重点环节。一般来说，数学的解题往往分为分析题目文字、明确多个条件、确认有用条件、理清各条件之间的关系、书写解题过程等步骤。培养学生解题能力，教师就得让学生在每一步骤上的思维能力都得到生长。

贯彻数学思想

就解题能力而言，它是一个综合能力，涵盖分析能力、推理能力、运用能力等。能力的提升总得有一个媒介，数学思想就是能力提升的关键因子，也就是说，要让学生提升能力，就要让他们从题目中推断本题所要涉及的数学思想是什么。有了数学思想再去甄别文字，筛选条件。一般来说，高中学生用到的数学思想有函数与方程、数形结合、分类与整合等思想。以下题为例，若圆锥的表面积是15л，侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是多少。不少学生拿到这样的题目就无从下手，不知道怎么去求解。首先教师要让学生将抽象的文字转化为图形，让学生从图形中找到突破口。这其实就是数形结合的思想，当这种思想在学生思维处生根之后，遇到类似的问题，学生会自然地借助图形去思考。在学生画图之后，他们会将题目中的条件整合到具体的图形上，即将数与形结合起来。题目中的已知条件，表面积、圆心角等都涉及到一个共同的元素半径。如果从半径入手能不能将有用的条件整合到一个式子中来。其实这就用到了另外一个重要的思想，即方程的思想。从一种思想过渡到另外一种思想，学生的思维也在深入。当学生将圆锥的底面半径设为r 时，他们发现还缺少了什么，因为等量关系很难建立。对思想的深度思考之后，学生找到了一个过渡的数量关系，他们将母线设为 ，则，从而求得 。从整个过程看，学生抓住数学思想的基点，解题能力就随之迸发出来。学生在具体的解题过程中，他们可能没去想这是什么数学思想，而是习惯地按照一定的套路将题目解答出来。套路就是隐性的数学思想。

设置开放题型

一般的数学题目，都是给好结论，让学生去证明。但开放性题目，只是给学生一些条件，让他们自己去猜测会有什么样的结果，或者多了一个条件又能出现什么新的情况。一言以蔽之，开放性题型对学生的解题能力提出新的高度，反过来开放性题型也能更好地锻炼学生的解题能力。一方面它要求学生将条件做多方面的假设，需要考虑的因素增多，并且每个因素都有不确定性;另一方面它要求学生具有思辨能力，即判断能力，让学生自己猜测结论，再自己证明结论。思辨能力的提升，能让学生重新审视题目给出的条件，即哪些是有用的，哪些是多余的，哪些需要找寻的。将条件构建到一个解决问题的生态体系中，学生的解题能力就会提升。以下题为例：两圆x2+y2=9和x2+y2-8x+6y+9=0的位置关系如何。这题相对的开放，它没有直接告诉学生结论是相交还是相切，然后让学生去求解。学生先要想到圆与圆之间有着怎样的关系，接着再将这两个圆分别做一个草图，看看大致的位置，最后再根据具体的数据作精确的计算。可以肯定的是，开放性题型学生思考的内容多了一些，在思维上表征为考虑问题要更严密一些，同时也让学生自主的空间多了一些。对于教师而言，平常可以将一些常见的题目改为开放性的题目，一方面能跟初中生的心理特点、思维特点相配，心理上他们不喜欢束缚，思维上他们比之前变得深刻;另一方面也能让学生的思维进一步打开，思维开阔了，解题的视域就宽了，能力就拓展了。

重视错题分析

数学学习的过程从某种程度上来说，也是学生不断提升解题能力的过程。在学习中学生会遇到会解的题，也会遇到不会解的题，这其中也包括解错的题。解答对了，学生就获得了一次成功的体验，随之也获得了一种正确的解题方式，這种方式使学生在遇到同一类型题目时就变得轻车熟路。但对于做错的题目，学生往往重视不够，甚至从心理上不愿提及。其实错题对培养解题能力而言是一种不可多得的资源，它能让学生看到自己在解题过程中疏忽。这个疏忽是来自思维的短板，还是认知上的不足，亦或是态度使然。学生分析了自己的疏忽之后，就对之前的解题有一个给反馈，进而使自己改变学习方式。以题为例： ，大多学生多能考虑到当n=2k，k∈Z时，原式= 。但学生的思维就好像在此卡住，一方面教师要将与三角函数相关的认知重新纳入教学计划中来，以让他们在这此类题目上的能力得到提升;另外，教师让学生分析错误的原因，思维没有往前拓展。当然学生在反思无果的时候，教师可作适当的提醒，以让他们从错误的焦虑中走出来。就这题，教师提醒当n=2k+1，k∈Z时会有怎样的解题思路。学生会豁然开朗，原来离正确只是一步之遥。

当前在高中数学教学中还有一些误区，认为解题能力就是通过大量的做题提升出来的。不可否认，解题能力的培养需要学生通过做题来体验。但不是麻木地做题，而是巧妙地做题。对于“巧”而言，要让学生的多元智能得到精准地提升，要让学生的体验得到及时的反馈。数学思想、开放题型、错题整理只是笔者教学中的一家之言，也许还有更好的方式能促进学生解题能力的生长。

（作者单位：江苏省海安高级中学）