行列式的几种计算方法

孟楠

摘  要：线性代数是大学本科重要的基础课程，而行列式又是线性代数这门课程的主要内容之一，具有广泛应用。它是我们线性代数中遇到的最基本问题。每种行列式都有其对应的多种巧解方法，其中行列式的计算，特别是高阶行列式的计算是行列式这一章的重点，同时也是难点。因此懂得如何利用行列式特点，巧妙地计算行列式尤为重要。该文针对不同的行列式形式，选择相对简单的计算方法，提高解题效率。

关键词：行列式  计算方法  线性代数

中图分类号：O17   文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）01（c）-0208-02

行列式是代数学中的一个基本概念，它源于求解线性方程组，是一个基本的数学工具。因此，线性代数把行列式列为基本而又重要的内容之一，并把行列式的计算作为线性代数的教学重点，然而直接计算行列式往往是困难和繁琐的，特别当行列式的元素是字母时就更加明显， 因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的。该文主要分析行列式的特点，总结几种特殊行列式的计算方法。

1  两个基础行列式

三角行列式：

2  用行列式的性质计算n阶行列式

性质1 将行列式转置，行列式的值不变。

性质2 交换行列式的两行（列），行列式的值变号。

推论 如果行列式由两行（列）的对应元素相同，则此行列式的值为零。

性质3 用数k乘行列式的某一行（列），等于以数k乘此行列式。

推论1 如果行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式外面。

推论2 如果行列式有两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值等于零。

性质4 如果将行列式中的某行（列）的每个元素都写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同。

推论 如果将行列式某一行（列）的每个元素都写成m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。

性质5 如果将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k后加于另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。

3  用行列式展开定理计算n阶行列式

定理1 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即：

D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin（i=1，2，…，n）

或D=a1jA2j+a2jA2j+…+anjAnj（j=1，2，…，n）

定义1 形如Hn=a1Hn-1+a2Hn-2+...+akHn-k，n>k将该式称为式（1），若a1，a2，…，ak为常数，则（1）称为常数齐次递推关系。

若ak≠0，则称（1）为k级递推关系，方程xk-a1xk-1-a2xk-2-…-ak=0称为（1）的特征方程，它的根称为（1）的特征根。

定理2 設k级递推关系（1）的特征根λ1，λ2，...λk，则Hn=∑ki=1 ci λni是（1）的解。

（1）展开定理直接应用。

=ah-b（-1）hb·bn-2=an-（-1）hbh

（2）递推法。

对应的特征多项式为，特征根为a，b。

解得：

4  数学归纳法

证明n阶行列式：

数学归纳法证明：n=1时D=1+a12成立。

假设n-1阶行列式结论成立，那么：

5  范德蒙行列式

总而言之，计算行列式的方法很多，不同的行列式对应不同的计算方法，该文只总结了比较常见的几类行列式，并且给出相应的计算方法，学生遇到以上特点的行列式就能很快地计算出它们的值，此外有一些其他形式的行列式也可以通过变相转换的方法转化为这几种方法来计算。

参考文献

[1] 刘家保，陈中华，陆一南.若干类型行列式计算方法[J].佛山科学技术学院：自然科学版，2012（2）：6-10.

[2] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].4版.北京：高等教育出版社，2011.

[3] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].2版.北京：高等教育出版社，1994.

[4] 王品超.高等代数新方法[M].济南：山东教育出版社，1989.