高中数学教学中数形结合思想的应用探讨

2020-04-07

中学课程辅导·教学研究 2020年31期

高中数学作为我国高中生必须学习的一门学科，其重要程度可想而知。高中数学在某些方面具有极强的规律性，例如一元二次方程固定的求解公式、等比数列与等差数列的通项公式等，这些数学问题可以通过固有公式和计算方法进行求解。但相应地，高中数学也存在某些无法用公式来表达规律的数学问题，如线性规划、空间几何等，这些数学问题需要通过辅助线、数轴、函数图像等图形来进一步分析。因此，运用数形结合的方法来进行教学，不仅顺应数学本身的特点，还有助于教学质量的提升。

一、数形结合在数学教育中的意义

数形结合将代数问题转化为几何形式，把数学符号用图像的方式解构又重组，在数学教育中具有以下几方面意义。1.在教学中，数形结合能使数学概念更加直观，便于教师授课与学生理解。例如在讲解概率问题(高中数学必修三，人教版)时，教师可以通过画“树状图”的方式，让学生直观地看到事件“发生”的途径，从而计算出相应的概率。2.对于学生来说，在数学学习过程中，通过将图形与数学联合的方式来思考，有助于转变思维和提升空间想象能力。例如在讲解“正弦函数y=sinx(对称轴：x=kπ+π/2(k∈z) 对称中心：(kπ，0)(k∈z))”(高中数学必修四，人教版)时，可以结合函数图像和坐标轴，将y=sinx的关系通过图形来呈现。3.数形结合开辟了看待数学问题的新角度，为解题提供了新的方向，有效地扩充了解题方法，提升解题速率。

二、数形结合在高中数学教学中的应用

1.数、集合与数轴

数学是研究由数字构成的一系列式子的规律的科学，可以说“数”是数学的基础。在高中数学教学过程中，在数与集合(高中数学必修一，人教版)的问题中，总是需要结合数轴来分析集合的意义，将集合与集合的“交”“并”“包含”等关系通过在数轴上绘图的方式展现出来。这不仅使集合与集合间的关系一目了然，还使得在分析该数学问题时思路更加有层次。

2.函数图像与方程

在高中数学的课程内容中，函数问题占有非常大的比例，是数学教学中非常重要的一个版块，也是最具有多样性的一个部分。而在概念上，函数与方程也具有紧密联系：方程体现了两个式子的关系，而函数体现了两个变量(自变量与因变量)的关系。基于方程与函数的关联性，在面对复杂的方程时，教师可以利用函数图像来帮助学生理解方程的意义。例如：在“二次函数与一元二次方程”(高中数学必修一，人教版)的问题中，就可以用函数与坐标轴的“交点”和函数图像的“开口”方向来确定一元二次方程“根”的数量。

3.等式、不等式与线性规划

在讲解“线性规划”(高中数学必修五，人教版)问题时，面对多个不等式或等式组成的条件，如果用解等式和不等式的方式来解答线性规划问题，是非常耗费时间且不明智的方法。如：设变量x，y满足以下条件，x-y≦10；0≦x+y≦20；0≦y≦15，则2x+3y的最大值为多少？在解决这个问题时，先将各项式子化为函数形式得到：y≧x-10；y≦20-x；y≧-x；y≧0；y≦15，然后画出以上几个式子的图像，根据不等式的要求找到几个集合的交汇，从而找出正确的答案。

4.解析几何

(1)平面几何

数形结合思想是解析几何发展的基础，例如在“解三角形”(高中数学必修五，人教版)的过程中，需要用到正弦定理、余弦定理等知识，但是在纯文字的叙述下，学生很难找到角与角的关系和角与边的关系。因此，可以利用数形结合的方法，结合题目要素，画出三角形并标明角与边，然后结合图形，找到三角形角与角的关系、角与边的关系和边与边的关系，最后通过辅助线和运算公式计算出正确的答案。或者，还可以构建平面直角坐标系，通过向量法来求解三角形。

(2)立体几何

立体几何对于学生的空间感知能力要求比较高，学生需要在复杂的线与交错的面之间来寻找线与线的关系、面与面的关系、线与面的关系等。在这个过程中，可以选取适合的点为基础，构建空间直角坐标系，然后用坐标结合向量来进行计算。