浅浅深深：数学教学之道

李洁 李柱俊

[摘要]“教什么”和“怎么教”一直是课堂教学的核心，对这两个方面的把握应该遵循“深浅之道”：教学内容的深浅选择应遵循教学目标和知识内容的本质;教学路径应遵循学生认知基础和认知规律的由浅入深。以“加法交换律和结合律”的教学为例，阐述如何在“深”“浅”之间进行转化，寻找适合学生的教学，呈现由“浅”而及于“深”，又因“深”而归于“浅”的教学。

[关键词]教什么;怎么教;深浅之道

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）08-0017-02

数学课堂教学的核心离不开“教什么”和“怎么教”，而这两方面都应该遵循“深浅之道”。因为无论选择什么教学内容，其深浅都应遵循课程标准、基于教学目标和知识的发展轨迹与本质;无论选择什么样的教学路径，亦应遵循学生由浅入深的认知基础和认知规律。深深浅浅教数学，是数学的教学之道。下面以苏教版教材四年级下册“加法交换律和结合律”为例，进行“深”和“浅”之间转化的教学。

一、教什么——理法浅入。本质深“扎”

教材中，给出“跳绳有多少人”这一问题，然后在得到等式28+17=17+28后，通过举例归纳得出加法交换律是成立的。加法结合律的教学用的是同一幅主题图，探索、发现的流程与加法交换律如出一辙。

其实学生对加法交换律和结合律是有一定认知基础的。如对于一年级“浇花的一共有多少个小朋友”（如图1），因为还没有正式学过用一个加法算式来表示，故大部分学生是用“数数”累加的方法，并且发现先数左边3人再接着数右边2人，与先数右边2人再接着数左边3人，其结果是一样的，这样的学习经历就是加法交换律的“雏形”。之后，学生又在多位数加法验算中多次经历加数位置的交换（如图2）。随着学习经验的不断积累，学生会渐渐将“规律”内化成自己的认知经验。

对于加数的结合，学生在学习一位数加一位数及整十数加两位数的口算中也早已有了接触。如9+7=9+（1+6）=（9+1）+6=10+6=16;48+37=48+（30+7）=（48+30）+7=78+7=85。基于以上对学生已有知识基础的分析，如果教学该内容时还是按照教材编写的流程——通过不完全归纳的方法总结出加法这两个运算律，那对学生而言就没有趣味性和挑战性可言了，自然不利于学生学习力的提升，这样的课堂教学显然是低效的。那么，课堂教学应该如何定位？这节课应该教什么？课程标准指出，要关注“过程与方法的教学目标”，但凡是学生能够明白的道理，课堂教学就要让他们学会说理。因此，这节课应正本清源，需结合运算的意义，使学生深刻理解运算律的本质。

二、怎么教——意义浅入。数形深“刻”

加法运算中如何才能让学生明白“为什么可以交换两个加数”的道理呢？笔者以为，还得从加法的意义入手。自然数的加法，其本源意义在于对两个具有有限基数且不相交的集合A和B作并集AUB之后，AUB的基数是A的基数与B的基数之和。诚然，这种抽象的说法是没法让四年级学生明白的，但是可以通过“数数”的形式，让学生直观感受到交换律的成立道理。

1.结合加法意义说理

引入：你们想过在加法中为什么会存在把两个加数的位置进行交换，和不变吗？今天的学习就要弄清这其中的道理。（出示图3）

提问：左边有4个方块，右边有2个方块。能数一数这里一共有几个方块吗？

交流：他是按怎样的顺序数的？可以用算式表示出他数的过程吗？（板书：4+2 2+4）

说明：两次数的顺序不同，但都是把两部分合起来了，小方块的总数没有变，所以这两道算式的和一定是不变的。（板书：4+2=2+4）

（数方块活动说清楚了“交换两个加数的位置，和不变”是合理的）

提问：可以再举一个这样的例子来解释吗？

交流：这样的例子能举得完吗？老师这里有一幅图可以把所有的例子都包含在内。（出示图4）

提问：能试着说说这幅图想表达的意思吗？

交流：这里的两条线段可以分别看成两个加数，它们可以是怎样的数呢？

2.描述加法交换律

引导：我们通过说理解释了“交换两个加数的位置，和不变”的道理，这其实是加法运算中的一条规律，你能给它起个名字吗？

提问：加法交换律的等式可以写出无数个，但也可以只用一个等式就能把所有这样的等式都表示出来，你能创造出这样的等式吗？

说明：一般情况下，人们习惯用字母a和b来表示加法交换律，即a+b=b+a（这样的一道字母式子就表示出了所有的例子，数学语言真是简约啊！）

提问：在这一规律中，变化的是什么？不变的是什么？

交流：你们现在知道以前在验算加法计算时为什么可以交换两个加数的位置了吧？其实就是应用了加法交换律。

“数数”的过程浅显易操作，直条图直观明了，教学时就是通过这样浅显直观的形式使学生深入认识加法交换律的本质。这样的数形结合思想对于学生理解加法运算律具有浅入深出的价值。

3.拓展加法交换律

交流：两个加数交换位置，和不变。由此，你们还能想到什么？

引导（发给每个学生三种规格的方格纸各1张。如图5）：你能用这三张方格纸拼成一个大长方形吗？

学生可能出现的拼法：

提问：a+b+c是什么图形？是怎么拼成的？b+c+a、c+a+b呢？

启发：也可以把每种拼法反过来，就又会出现三种拼法。

提问：这6道算式都相等吗？为什么？

引导：可以把任意两道算式用等号连接起来，如

a+b+c=b+c+a。

启发：看来，三个数相加也有交换律，那四个数、五个数呢？

说明：只要是连加，无论几个加数，交换它们的位置，和不变。看来，加法交換律的内容可以改成——几个数相加，交换加数的位置，和不变。

4.认识加法结合律

交流：在a+b+c=b+c+a这个等式中，前一个算式a+b+c中，我们先算的是哪两个数的和？后一个算式b+c+a中，我们又先算哪两个数的和？

引导：计算时就要先算括号里的，这是我们已经掌握的数学知识。a+（b+c）其实跟b+c+a相同，这种不改变加数的位置，通过添加括号改变计算顺序保持结果不变的规律就是加法的结合律，用字母公式表示就是a+b+c=a+（b+c）。

提问：仔细观察，在a+b+c=a+（b+c）中，什么变了？什么没变？

5.验证加法结合律

交流：假如这里的a表示16，b表示12，c表示4，我们把结合律这个等式中的a、b、c换成具体的数来算一算，看看是否真的相等。

说明：从刚才的学习中我们发现，几个数连加的交换律、结合律其实是用不同的方法来改变计算的顺序，本质上是相同的，只是方法不同。

a+b+c=b+c+a：交换加数位置，改变计算顺序

a+b+c=a+（b+c）：添加括号，改变计算顺序

不管怎样拼，拼出的长方形的大小都是一样的，这样“浅”的操作使学生深刻明白了加法交换律在三个及以上数相加时是同样适用的。同时，让学生根据给定的算式说出具体拼的过程，使学生能直观理解结合的意义，即先做什么，后做什么，让学生深入明白“一起计算三个数，是有一定顺序的，不像两个数相加，只存在位置上的变化，不存在顺序上的改变”。在这样的教学中，学生容易感知结合律就是交换律的拓展和延伸，从而真正体会到结合律产生的必要性和价值，更加突出了加法交换律和结合律之间的联系和区别。

遵循深浅之道的教学是基于课程标准、贴近学生、高于教材、浅入深出的教学，是由“浅”而及于“深”，又因“深”而归于“浅”的精彩呈现。这样的课堂回归了数学教学的本真，回到了“对数学本质深刻理解”的最根本的数学使命上来。