时间模上p-Laplacian方程边值问题的两个正解的存在性

乔世东

(山西大同大学数学与统计学院，山西大同 037009)

p-laplace 算子形式是其中φp(s)= |s|p-2s,p＞1。

研究时间模T上的一维p-Laplacian[1]两-点边值问题

设p＞1 ，q＞1，且满足另外，设

解方程得到

定义积分算子A:P→P，

AP⊂P, 则A全连续积分算子，边值问题(1)有解u=u(t)当且仅当u是下列算子方程的解。

定理1设P是实巴拿赫空间E的一个锥,集合P(Φ,r)={u∈P:Φ(u)＜r}[2]。

如果ν,Φ是定义在P上的增加的, 非负的连续函数,让θ是一个定义在P上非负的连续函数且有θ( 0 )=0 满足对一些正的常数r,M及所有的又假 设 存 在 常 数 0 ＜p＜q＜r满 足 下 列 条 件,θ(λu)≤λθ(u), 0 ≤λ≤ 1,u∈ ∂P(θ,q)。 假 设是P上的一个全连续算子满足下列条件:

(1)Φ(Au)＞r对所有的u∈ ∂P(Φ,r)；

（2）θ(Au)＜q对所有的u∈∂P(θ,q)；

（3）P(ν,p)≠φ, 和ν(Au)＞p对 所 有 的u∈ ∂P(ν,p),则A至少有两个不动点u1,u2, 满足p＜ν(u1) ,θ(u1) ＜q和q＜θ(u2),Φ(u2)＜r。

定理2设条件(H)成立,且

（1）f0=f∞=∞；

( 2 )∃ρ＞ 0,使f(u)＜(ηρ)p-1,0 ≤u≤ρ,

则边值问题(1)至少有两个正解u1,u2, 满足0 ＜ ‖u1‖＜ρ＜ ‖u2‖＜ ∞[3]。

证明由f0=∞知，对∃0 ＜a＜ρ, 当时,

设u∈P，‖u‖ =a，Ra={u∈P:‖u‖ ＜a},

当u∈∂Pa时，时,于是

由f∞=∞ ，对上面的∃b＞ρ, 当时,

设u∈P，‖u‖ =b，Rb={u∈P:‖u‖ ＜b},

当u∈∂Pb时，于是

由条件（2）知，设u∈P，‖u‖ =ρ，

由定理1知A在P中有两个不动点u1,u2, 满足即方程（1）有两个正解u1,u2,满足