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时间模上p-Laplacian方程边值问题的两个正解的存在性

2020-04-02乔世东

关键词:边值问题不动点算子

乔世东

(山西大同大学数学与统计学院,山西大同 037009)

p-laplace 算子形式是其中φp(s)= |s|p-2s,p>1。

研究时间模T上的一维p-Laplacian[1]两-点边值问题

设p>1 ,q>1,且满足另外,设

解方程得到

定义积分算子A:P→P,

AP⊂P, 则A全连续积分算子,边值问题(1)有解u=u(t)当且仅当u是下列算子方程的解。

定理1设P是实巴拿赫空间E的一个锥,集合P(Φ,r)={u∈P:Φ(u)<r}[2]。

如果ν,Φ是定义在P上的增加的, 非负的连续函数,让θ是一个定义在P上非负的连续函数且有θ( 0 )=0 满足对一些正的常数r,M及所有的又假 设 存 在 常 数 0 <p<q<r满 足 下 列 条 件,θ(λu)≤λθ(u), 0 ≤λ≤ 1,u∈ ∂P(θ,q)。 假 设是P上的一个全连续算子满足下列条件:

(1)Φ(Au)>r对所有的u∈ ∂P(Φ,r);

(2)θ(Au)<q对所有的u∈∂P(θ,q);

(3)P(ν,p)≠φ, 和ν(Au)>p对 所 有 的u∈ ∂P(ν,p),则A至少有两个不动点u1,u2, 满足p<ν(u1) ,θ(u1) <q和q<θ(u2),Φ(u2)<r。

定理2设条件(H)成立,且

(1)f0=f∞=∞;

( 2 )∃ρ> 0,使f(u)<(ηρ)p-1,0 ≤u≤ρ,

则边值问题(1)至少有两个正解u1,u2, 满足0 < ‖u1‖<ρ< ‖u2‖< ∞[3]。

证明由f0=∞知,对∃0 <a<ρ, 当时,

设u∈P,‖u‖ =a,Ra={u∈P:‖u‖ <a},

当u∈∂Pa时,时,于是

由f∞=∞ ,对上面的∃b>ρ, 当时,

设u∈P,‖u‖ =b,Rb={u∈P:‖u‖ <b},

当u∈∂Pb时,于是

由条件(2)知,设u∈P,‖u‖ =ρ,

由定理1知A在P中有两个不动点u1,u2, 满足即方程(1)有两个正解u1,u2,满足

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