一类随机SIRS流行病模型的动力学分析

张太雷,李志民,方舒

(长安大学 理学院,陕西 西安 710064)

0 引言

(1)

其中,S(t),I(t),R(t)分别表示t时刻的易感者、染病者和恢复者的数量。b表示对种群的常数输入率;d表示种群的自然死亡率;β表示传染率;α表示人们心理作用或外界采取相应的措施所产生的抑制效应;γ表示恢复者丧失免疫率,γ>0意味着恢复者具有暂时免疫力,γ=0意味着恢复者具有永久免疫力;μ表示染病者的恢复率。这里所有的参数均为正常数。

其中

由系统(1)的各式相加得

b-d(S(t)+I(t)+R(t)),

因此有

S(t)+I(t)+R(t)=

即有

因此,系统(1)的正向不变集是

现实世界的生物生长会受到各种随机因素的干扰,因此,随机数学模型[6-17]的研究和确定性数学模型的研究相辅相成,使得人们对生物在发展过程中行为的了解和认识更全面、更深刻。特别地,在文献[9]中,周艳丽等人考虑了模型(1)中感染率的参数扰动,研究了如下随机模型:

(2)

在文献[14]中,刘群等人研究了一类随机SIRI流行病模型, 并且在模型建立中考虑不同于模型(2)的参数扰动型随机模型。受上述文献中关于随机模型的研究和文献[14]的建模启发,本文在确定性模型(1)的基础上建立如下随机SIRS流行病模型:

(3)

其中B1(t),B2(t),B3(t)是独立的布朗运动,σ1,σ2,σ3为其强度系数。从模型(1),(2),(3)可以看出,确定性模型(1)的无病平衡点和地方病平衡点不是随机模型(3)的无病平衡点和地方病平衡点。

1 全局唯一正解

考虑如下Lyapunov函数

V(S(t),I(t),R(t))=(S-1-lnS)+

(I-1-lnI)+(R-1-lnR)

(4)

易证对于任意u>0,有u-1-lnu≥0成立,故有V(t)正定。由伊藤公式[10]计算可得

dV=LVdt+σ1(S-1)dB1(t)+

σ2(I-1)dB2(t)+σ3(R-1)dB3(t)

(5)

其中

(6)

考虑函数

(7)

(8)

所以

dV≤Kdt+σ1(S-1)dB1(t)+

σ2(I-1)dB2(t)+σ3(R-1)dB3(t)

(9)

现将(9)两端从0到τk∧T积分并取期望可得:

E[V(S(τk∧T),I(τk∧T),R(τk∧T))]≤

V(S(0),I(0),R(0))+KT

(10)

V(S(τk),I(τk),R(τk))≥

(11)

所以

V(S(0),I(0),R(0))+KT≥

E[IΩkV(S(τk,ω),I(τk,ω),R(τk,ω))]≥

(12)

其中IΩk表示Ωk的示性函数。当k→∞,则有

∞>V(S(0),I(0),R(0))+KT=∞,

(13)

与假设矛盾,所以必有τ∞=∞a.s.，这说明(S(t),I(t),R(t))以概率1在有限时间内不会产生爆破。证明完毕。

2 随机模型(3)的解在确定性模型(1)的无病平衡点附近的波动情况

定理2 当R0≤1,且满足

其中

证明定义Lyapunov函数

V=V1+V2+V3+V4

(14)

其中V1,V2,V3,V4分别为

(15)

利用伊藤公式计算得

dV1=LV1dt+W1dB1,

dV2=LV2dt+W2dB2,

dV3=LV3dt+W3dB3,

(16)

其中

W2=σ2I2,

W3=σ3R2,

(17)

进一步计算可得

(18)

由(14)-(18)式整理可得

(19)

进一步得到

(20)

对(20)两端分别从0到t积分,并取期望得到

EV(t)-EV(0)≤

E(p1M1+p2M2+p3M3)

(21)

其中

则Mi(t)是连续局部鞅,且满足

Mi(0)=0,

(22)

根据鞅的强大数定律[13]可得

(23)

因此

(24)

证明完毕。

3 随机模型(3)的解在确定性模型(1)的地方病平衡点附近波动情况

定理3 当R0>1,且满足

其中,

证明当R0>1时,确定性模型(1)存在唯一的地方病平衡点P*=(S*,I*,R*),且满足

μI*-(d+γ)R*=0

(25)

定义Lyapunov函数

(26)

其中Φ1,Φ2,Φ3分别为

(27)

利用伊藤公式计算得

-d(S-S*)2-(d+μ)(I-I*)2-(d+μ)(S-S*)(I-I*)-d(S-S*)(I-I*)+

-d(S-S*)2-(d+μ)(I-I*)2-(2d+μ)(S-S*)(I-I*)+

(28)

考虑到

(29)

即有

(30)

同理有

(31)

另外由2ab≤a2+b2可得

2(R-R*)(I-I*)≤

(R-R*)2+(I-I*)2, 2(R-R*)(S-S*)≤

(R-R*)2+(S-S*)2

(32)

由(26)-(32)式整理得到

LΦ≤-d(S-S*)2-(d+μ)(I-I*)2-

(2d+μ)(S-S*)(I-I*)+

γ(S-S*)(R-R*)+γ(I-I*)(R-R*)+

(d+γ)(R-R*)2+μ(R-R*)(I-I*)+

(33)

进一步得到

dΦ≤LΦdt+WdB(t)

(34)

其中

WdB(t)=σ1S(S-S*+I-I*)dB1+

σ2I(S-S*+I-I*)dB2+

(R-R*)2σ3RdB3≤

σ1S(S-S*+I-I*)dB1+(R-R*)2σ3RdB3≤

q1dB1+q2dB2+q3dB3

(35)

对(34)两端分别从0到t积分,并取期望得到

b2(I(r)-I*)2-b3(R(r)-R*)2]dr+

(36)

其中

则Mi(t)是连续局部鞅,且满足

(37)

根据鞅的强大数定律可得

(38)

因此

(39)

证明完毕。

4 随机持久性

下面讨论随机系统(3)平均持续存在,关于随机持久性的定义见文献[18]。

证明由定理3,可得

(40)

(41)

同理有

(42)

定理证毕。

5 随机灭绝性

本节指出当外界环境干扰强度较大时能导致疾病灭绝,即大噪声能导致疾病消失。

引理1[15]设随机模型(3)的解(S(t),I(t),R

(43)

(44)

定义

和

证明令Q(t)=μI(t)+(μ+d)R(t),利用伊藤公式计算得

(45)

由随机模型(3)可知

d(S(t)+I(t)+R(t))=

[b-d(S(t)+I(t)+R(t))]dt+

σ1S(t)dB1(t)+σ2I(t)dB2(t)+σ3R(t)dB3(t)

(46)

对(46)从0到t积分,再由引理1中(43)和(44)得到

(47)

(48)

即推出

(49)

另一方面,由(46)得到

b-d〈S〉t-d〈I〉t-d〈R〉t+

(50)

由引理1中(43)、(44)和(49),得到

(51)

定理证毕。

6 结论

对于确定性模型和对应的随机模型而言,随机模型更加符合客观实际情况,更有助于了解流行病的传播机理。另一方面,由于流行病在现实环境中的传播过程非常复杂,会受到许多因素影响,所以下一步研究工作是构建其他形式的随机流行病模型,并研究其动力学行为。