时变区域上一维波动方程的精确能控性

逯丽清,胡静,赵丽艳

(山西大学 数学科学学院,山西 太原 030006)

0 引言

柱形区域上波动方程的精确能控性研究,已经得到一些很好的结果,比如文献[1-5]。其中,文献[1]研究柱状区域上波动方程和第一、第二型的Petrovsky系统的精确能控性,包含Dirichlet边界,Neumann边界和混合边界。然而非柱形区域上波动方程的能控性研究则相对较少,近几年有些文献已经对它有所研究并且也得到一些结果,如文献[6-21]。文献[6]研究了在类时间的非柱形区域上非线性波动方程初边值问题解的存在性。文献[7]研究了一个移动体外部波动方程解的局部衰减性。文献[8]对类时间的非柱形区域上波动方程的精确能控问题进行了研究。文献[9]主要研究了Kirchhoff模型的混合问题的正则解的存在性和渐近性。文献[10]研究非柱形区域上衰减的Klein-Gordon方程,得到了全局解的存在性和能量的指数衰减。文献[13]在研究非柱形区域上一维波动方程的精确能控性时,作者先将非柱形区域上的问题转化成柱形区域上的等价问题,然后通过导出柱形区域上对偶问题的正反向不等式获得了原问题的精确边界可控。文献[20]运用乘子方法导出非柱形区域上原系统的对偶系统,通过研究对偶系统的稳定性,运用HUM 方法得到原系统的可控性。文献[21]主要研究了非柱形区域上带有混合边界的一维波动方程的精确能控性,固定端有Dirichlet边界条件,然而移动端有Neumann边界条件。文献[22-23]应用广义Fourier级数和Parseval等式,得到了带有移动边界的区域上一维波动方程的观测性不等式,并导出了观测常数。文献[24]则研究了带有充分正则边界函数的时变区域上一维波动方程的边界可观和内部点可观。受文献[13,20-21]的启发,本文通过直接在非柱形区域上使用乘子法,研究带有混合边界的波动方程的稳定与可控。

给定T>0，令

αk(t)=1+kt,t∈[0,T],k∈(0,1)

(1)

本文讨论的函数空间为

(2)

其中u是状态变量,v是控制变量,(u0,u1)∈L2(0,1)×H-1(0,1)是任意给定的初值,由[8]可知系统(2)有唯一的解u,且

u∈C([0,T];L2(0,αk(t)))∩

C1([0,T];H-1(0,αk(t))) 。

本文主要研究下述意义下系统(2)的精确能控。

定义1 系统(2)在T时刻是精确能控的,如果对于任给的初值(u0,u1)∈L2(0,1)×H-1(0,1),存在控制v∈L2(0,T),使得系统(2)在转置意义下的解满足:

u(T)=0,ut(T)=0 。

对于k∈(0,1),令

(3)

本文主要结果如下。

注记1易知

上式表明非柱形区域上波动方程的控制时刻与柱形区域上的控制时刻一致。

注记2当k=1, 即移动端的速度等于波速时,对应系统的精确能控问题将在后续工作中研究。

对于系统(2)的对偶系统:

(4)

C1([0,T];L2(0,αk(t))) 。

接下来,定义系统(4)的能量为

(5)

下面给出系统(4)的稳定性结果。

(6)

1 三个重要引理

为了证明本文主要结果,本文建立了三个引理。

(7)

由Gauss-Green公式得

(8)

由于ω是系统(4)的解,那么由边界条件ω(αk(t),t)=0, 可导出

ωt(αk(t),t)= -kωx(αk(t),t)

(9)

再利用边界条件ωx(0,t)=0,并结合(5)、(8),有

整理上式得

E(T)-E(0)=

引理1得证。

注记3不失一般性,令0

或者

(10)

因此,易得当k∈(0,1),系统(4)的能量是衰减的,当k=1,能量是恒定的。

引理2 任给T>0,ω是系统(4)的解,则下述等式成立:

(11)

由Gauss-Green公式得

利用(9)式,上式可整理为

进一步

引理2证毕。

利用Cauchy不等式,可得下面的估计式。

引理3 设ω是系统(4)的解,对于t∈(0,T)和k∈(0,1),下述估计成立

(12)

2 主要结果的证明

定理2的证明由(10)可知

(13)

由(11)、(13)得

上式左端分部积分即得

重新安排上式可得

(14)

由(14)结合(12)可得不等式

整理得

定理2证毕。

利用系统(4)的边界条件，上式整理为

再利用(9)式,

(15)

定义算子Λ:

Λ(ω0,ω1)=(u1,-u0)，

其中u0=u(0),u1=ut(0)。

F′=H-1(0,1)×L2(0,1) 。

事实上,令v(t)=ωx(αk(t),t),再结合(15)可得

(16)

因此有

〈Λ(ω0,ω1),(ω0,ω1)〉F′,F=

(17)

对于任意的(ω0,ω1)∈F都成立。再结合(6)和(7)可得

(18)

Λ(ω0,ω1)=(u1,-u0) 。

则u是系统(2)在控制v=ωx(αk(t),t)下的解,进一步,(u(0),ut(0))=(u0,u1)，(u(T),ut(T))=(0,0),证毕。