复数中的参数问题

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复数问题在高考中分值较少,难度较低,正确理解复数的概念,合理运用复数的几何意义及其性质,是解决复数问题的关键。下面对复数中的参数问题进行专题归纳,以飨读者。

一、利用复数的概念

复数问题实数化是解决复数问题最基本、最重要的思想方法,依据复数的概念可以化虚为实。

例1(2019年江苏卷)已知复数(a+2i)·(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是____。

分析：先利用复数代数形式的乘除运算法则进行化简,再由实部为0求的a值。

解：因为(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,所以a-2=0,即a=2。故答案为2。

点评:本题考查复数代数形式的乘除运算,也考查复数的基本概念,解题的关键是正确理解复数的概念。

练习1：当实数m为何值时,复数是纯虚数?

解析：由已知得

解得m=2。

二、利用复数的几何意义

复数既可用代数形式表示也可用几何形式表示,因此,复数的各种运算也具有了几何意义,解复数题时常以形助数,数形结合,使问题的解决更加形象直观。

例2设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )。

A.(x+1)2+y2=1

B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1

D.x2+(y+1)2=1

分析：由z在复平面内对应的点为(x,y),可得z=x+yi,然后根据|z-i|=1即可得解。

解：因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以z=x+yi,z-i=x+(y-1)i。

点评:本题考查复数的模、复数的几何意义,解题的关键是正确理解复数的几何意义。

练习2：如果复数z=3+ai(a∈R)满足条件|z-2|＜2,那么a的取值范围是( )。

解析：易得|1+ai|＜2,即1+a2＜4,所以选D。

三、利用复数相等的充要条件

复数集是由实数集扩充而来,实数集中的某些性质在复数集中仍然成立。利用复数相等的充要条件将复数问题转化为实数问题是一种最常见的解题策略。

例3若相等,则a-b=_____。

分析：复数相等时,它们的实部和虚部分别相等,由此可得结论。

解：因为(2-i)2=4-4i-1=3-4i,两个复数相等,所以b=3,a=4,则a-b=1,答案为1。

点评:借助于复数相等,将复数问题实数化。两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等,即

练习3：已知复数R,i是虚数单位),则x+2y=( )。

解：由题意得a+i=(x+yi)(2+i)=2x-y+(x+2y)i,则x+2y=1,故选A。

四、利用复数的性质

由实数推广到复数,必须注意有些结论不一定成立,若成立,应注意成立的条件。

例4求使不等式m2-(m2-3m)i＜10+(m2-4m+3)i成立的实数m的取值集合。

分析：只有实数才能进行大小比较。

解析：由题意知故解得m=3。

点评:因为只有两个复数均为实数时才能比较大小,所以不等式的左右两端必须同时为实数。

练习4：已知复数3a-10)i(a∈R),满足zi＞0或zi＜0,求a的值或范围。

解析：因为zi＞0或zi＜0,所以z为纯虚数。由纯虚数概念知解得a=2。