隐函数逻辑方程

吴金鹏

(山东省聊城大学材料科学与工程学院 252000)

一、隐函数逻辑关系

1.隐函数逻辑关系-与

由⑤式可以看出，要使方程等式成立，当且仅当，f1(x，y，z)=0且f2(x，y，z)=0，即⑤式的取值必须同时满足f1(x，y，z)=0以及f2(x，y，z)=0.因此，⑤式的隐函数图象表示为①，②在坐标系中相交的部分.综上所述，方程⑤为隐函数逻辑关系-与.

例1推导三维空间中直线的隐函数方程.

③+④得F(x，y，z)=|A1x+B1y+C1z+D1|+|A2x+B2y+C2z+D2|=0.该方程为所需推导的三维空间中直线的隐函数方程.

当多个隐函数图象重叠时，所得图象的方程为组成该方程的隐函数的公共部分.

2.隐函数逻辑关系-或

以三元隐函数方程为例，f1(x，y，z)=0①或f2(x，y，z)=0②，若①，②为某一隐函数方程的解，则原方程为f(x，y，z)=f1(x，y，z)·f2(x，y，z)=0，方程的两解的图象在空间中互不干涉.在同一个坐标系中，两个隐函数按照自己原来的图象，依次在坐标系中.例如一个圆可以分解为两个半圆.因此，隐函数相乘为隐函数图象在空间中的叠加，所得的一个隐函数的取范围等于组成它的隐函数取值范围的和.于是f1(x，y，z)=0，f2(x，y，z)=0，f3(x，y，z)=0,…,fn(x，y，z)=0在坐标系中的叠加方程为F(x，y，z)=f1(x，y，z)·f2(x，y，z)·f3(x，y，z)·…·fn(x，y，z)=0③,③式为三元隐函数逻辑关系-或.

二、隐函数逻辑方程的梯度计算

1.隐函数逻辑方程-与的梯度计算

对于F(x，y，z)=|f1(x，y，z)|+|f2(x，y，z)|=0，由于所求得的几何图形的方程为三维空间的直线方程，因此其法向量有无数多个.此时，我们只能通过向量积运算出直线的特征向量，进而求得以该向量为法向量的平面的梯度.▽F(x，y，z)=▽f1(x，y，z)×▽f2(x，y，z).

2.隐函数逻辑方程-或的梯度计算

对于f(x，y，z)=f1(x，y，z)·f2(x，y，z)=0，可参考乘积的导数计算，于是有▽f(x，y，z)=f1(x，y，z)·▽f2(x，y，z)+f2(x，y，z)·▽f1(x，y，z)=0.

三、非等式之间的逻辑关系

非等式之间也存在两种逻辑关系，如x>5和x>4，它们在空间中的图象也具有逻辑关系.若x>5和x>4之间的逻辑关系为与时，空间中的图象表现为x>4；当x>5和x>4之间的逻辑关系为或时，空间中的图象表现为x>5.但非等式之间的逻辑关系或，与不能通过隐函数逻辑方程直接表示，因此将非等式化为等式是实现方程逻辑运算的一种选择.

1.非等式的隐函数表示

2.推导隐函数逻辑非，异或

设空间中的三元隐函数分别为，f1(x，y，z)=0，f2(x，y，z)=0.由隐函数逻辑关系-与可得F(x，y，z)=|f1(x，y，z)|+|f2(x，y，z)|=0为两隐函数的重叠部分，F(x，y，z)≠0为F(x，y，z)=0在空间R3的对立.