基于力电耦合效应的非均匀压电材料断裂问题研究

朱帅 刘海涛

摘要 作为一种智能材料，非均匀压电材料广泛应用于航空航天、军事等领域，由于其脆性，材料中的微裂纹对结构寿命影响较大。基于非均匀压电材料的本构关系，几何关系和边界条件，利用分层法的原理进行材料的梯度划分，分析了力电耦合效应下非均匀压电材料中的断裂问题。建立含裂纹非均匀压电板的有限元模型，讨论了力电耦合效应下不同梯度参数、不同裂纹形状、不同裂纹尺寸以及不同梯度函数对裂纹周围应力和电位移分布的变化规律。首次提出几何过程函数来进行非均匀材料属性的调控，实现材料参数的随机递增/随机递减。数值结果给出了在力电耦合效应下，裂纹周围应力和电位移的分布规律;梯度参数的增大使裂纹周围应力和电位移增大;裂纹几何尺寸变小，裂纹周围应力增大而电位移减小且椭圆形裂纹周围应力要大于圆形裂纹。因此，在非均匀材料结构设计中，梯度参数应在可使用范围内选取较小值;选择不同梯度函数的对裂纹周围的应力和电位移有一定影响，这对于非均匀压电材料结构设计及实际应用起到借鉴作用。

关 键 词 非均匀压电材料;分层法;梯度函数;力电耦合效应;断裂力学

中图分类号 TB34     文献标志码 A

0 引言

目前，压电材料是智能结构系统中研究最多的传感驱动材料[1]，具有广泛的应用前景。压电材料受到机械应力会产生电场，而通过外加电场可以使压电结构产生应力，因而具有良好的力电耦合特性，被应用于航天航空、军工、人工智能等领域。非均匀材料是一种通过连续改变其组成物质比例，使其界面成分和组织实现连续过渡变化的梯度材料，通过梯度函数的调控，使材料的力学特性沿着一个方向呈连续变化，如弹性模量都是以函数的形式实现梯度的过渡。由于压电材料在制造和使用过程中会发生疲劳断裂或者产生微孔洞，使材料发生破坏，进而导致结构失效。当非均匀材料与压电材料的结合时，可以使压电材料的内部应力大为缓和，整体改善材料结构，不易发生破坏，大大提高材料的可靠性和使用寿命。因此，研究非均匀压电材料板的断裂问题对于提升相关结构器件的性能具有重要意义。

对于非均匀压电材料的研究，只有特定的情况下可以给出解析解，当边界条件变化以后，求解就变得相当困难。当前大部分工作基于简单的边界条件，给出了非均匀压电梁板结构的基本解。Nguyen等[2]利用间断伽辽金法计算高阶连续体，降低了对位移连续性的要求。Elouafi等[3]基于Mori-Tanaka等效方法和Eshelby张量给出了非均质压电材料等效参数的解析解。崔世堂等[4]利用TTO模型确定了材料的力学参数，研究了功能梯度梁的矩形截面在纯弯曲荷载下的应力分布和弹塑性边界演化规律。韩旭等[5]利用Fourier变换研究了层合压电材料力电耦合在外载下的瞬态响应。Nourmohammadi等[6]对非均匀压电材料的多场耦合问题进行了研究。张丰等[7]以菱压电作动器为隔振器件，在力电耦合场下，研究了隔振系统的误差、迟滞等多种工况下的数值仿真分析结果。Selimb等[8]利用高阶剪切变形理论对功能梯度压电板的振动问题进行了分析。张莹等[9]利用England-Spencer理论获得了圆板和圆环在周边力下的三维弹性力学解。Komijani等[10]分析了多物理场下非均匀压电材料执行器非线性响应问题。孟广伟等[11]利用光滑有限元理论分析了含孔功能梯度压电材料的力电耦合行为。Almajid等[12]利用层合板理论，研究了功能梯度压电板的离面位移和应力场。由于压电材料是各向异性材料，材料参数较多，同时材料是非均匀性及多场耦合的情况大大增加了求解的困难。

本文基于分层法的思想，利用分层近似处理的方法[13-14]将非均匀压电板分为若干层，每层的材料参数按照所取的指数函数进行设置，在界面处连续变化，防止出现过大的跳跃，相邻的材料属性有较好的连续性，从而提高其计算精度和效率。通过有限元方法建立了含裂纹的非均匀压电板模型，在力电耦合效应下，给出了不同的梯度参數、裂纹几何尺寸、裂纹形状和梯度函数对裂纹周围最大主应力，应力[σyy]和电位移分布的影响规律。本文结果可以为工程中复杂物理场下非均匀压电材料结构的设计起到借鉴作用。

1 基本原理方程

非均匀压电材料场方程[11]是

2 模型建立及分析

本数值模型是以含裂纹的非均匀压电材料板作为研究对象，压电材料的属性[15]如表1所示。简化的力学模型如图1，含圆形裂纹的正方形板，边长a=80 mm，圆形裂纹直径r=0.5 mm，设置压电材料的极化方向为y轴正方向，材料的梯度变化方向为x轴正方向，板的左右两端AB与CD自由，板上下两端同时施加力电耦合场。施加均布应力10 MPa，上端电势为0，下端电势为1 MV，材料参数梯度函数[K=K0eβx]，其中，[K0]代表PZT-5H材料属性[15]。这里取梯度参数[β=0.01]。

如图2建立有限元模型，根据分层法的基本原理将模型划分为若干层，板的层数划分采用非均匀划分，这样可以更有效的分析裂纹附近场的变化。通过在圆形裂纹处的细密分层，在较远处则分层距离扩大，对结果影响不大。在满足一定精度情况下，将非均质板划分为14层。每一层的材料属性可以通过材料梯度方程计算可得，通过有限元软件将板的材料参数赋予给每一层。板的有限元网格单元类型采用8节点CPE8RE压电单元，保证研究结果的准确性。

在力电耦合效应下有限元结果如图3a）所示，可以看到裂纹周围产生了明显的应力集中，裂纹边上的最大主应力值从25.85 MPa逐渐减小至2.24 MPa，但左右并不对称。最大主应力最大的位置不是出现在裂纹尖端，这是由于材料梯度的变化，导致板左边的弹性模量小于右边的弹性模量，弹性模量是逐渐过渡增大，材料变得更加具有梯度性，从而避免了裂纹尖端的应力集中，使得应力分布较为均匀，限制了裂尖扩展的趋势，达到保护板不被破坏的目的。从图3b）中可看出，应力[σyy]集中在裂纹尖端，使得裂尖应力最大，而附近逐渐减小，这与单向拉伸裂纹应力情况相符合。图3c）是电位移云图，可以看出非均匀压电板的电位移最大值集中在裂纹的尖端，在裂纹尖端周围逐渐变小，这与文献[14]结论相吻合。

3 算例結果分析

3.1 力电耦合效应下，梯度参数对圆形裂纹应力和电位移的影响

当非均匀压电板在力电耦合效应下，得到在不同梯度参数[β=0.01，0.02，0.03，0.04，0.05]下的裂纹周围的应力和电位移的分布规律，如图4a）和图4b）所示。当随着梯度参数的变大，材料的非均匀性增强，非均匀压电板左右两端的属性差异变大，板变得均匀性较差，裂纹更容易发生应力集中，导致最大主应力和应力[σyy]发生较大的增加。由图4c）可得，随着梯度参数[β]的变大，裂纹尖端的电位移[Dy]变大。

3.2 当[β=0.05]时，不同半径对圆形裂纹应力和电位移的影响

由3.1节可知，当功能梯度参数较大时，圆形裂纹周围的应力集中现象较为明显，为了容易得到裂纹半径变化和裂纹周围的应力和电位移的关系，所以取功能梯度参数[β=0.05] 。令圆形裂纹半径r=0.2 mm，0.5 mm，0.8 mm。设置板的大小不变时，改变圆形裂纹的半径，可以看到圆孔附近发生了明显的应力集中现象，如图5a）至图5c）所示。当裂纹较小的时候，在力、电场、力电耦合效应下，非均匀材料应力集中在小的缺陷集中区域更加容易产生，且孔径越小应力集中越明显，应力突然变大的趋势变快，从而增大了裂纹周围最大主应力与应力[σyy]。当裂纹的半径变大后，应力集中相比较变小。而电位移[Dy]在力、电、力电耦合效应下都是随着半径的变大而变大。

3.3 当[β=0.01]时，椭圆形裂纹与圆形裂纹应力与电位移的比较

令梯度参数[β=0.01]，且椭圆形裂纹的长轴a = r = 0.5 mm，短轴b = 0.2 mm。在力、电场、力电耦合效应一定的情况下，取相同的梯度参数，非均匀压电材料在裂纹周围材料属性一致，发现椭圆形裂纹的应力和电位移要大于圆形裂纹的应力和电位移，应力集中和电位移集中现象更加明显，这是因为椭圆形裂纹与圆形裂纹相比，裂纹的形状更加尖锐凸出，裂纹端部承受更大的荷载，导致更容易产生明显的应力集中和更大的电位移，材料更容易发生破坏。

3.4 当[β=0.01]时，不同梯度函数下圆形裂纹比较分析

通过可靠性问题中几何过程的概念，本文首次提出利用几何过程中的随机变量序列的分布函数，来实现功能梯度材料的随机递增/随机递减的过程，这要比以往经典的梯度函数更加具有随机性。可以通过调控“几何过程函数”中多个参数，实现多种变化类型，更大程度上调控非均质材料的属性。

当选取不同的梯度函数，非均质压电材料的材料参数发生变化。这里选取第2节中自然指数[K=K0eβx]（[β=0.01]）时，以非均质压电板左右两端的材料属性为标准。也就是，保持板左右特性不变，改变材料梯度的过渡形式。分别取线性函数、幂函数、正弦函数、几何过程函数。最终通过计算得到各个函数中的参数值，从而得到不同类型梯度函数板在力电耦合效应下如图7所示，裂纹的周围的最大主应力，[σyy]应力和电位移[Dy]的分布规律。

经过分析发现，对于选定的5种不同梯度分布函数，随着裂纹环向角度的变化，可以看到，裂纹周围的应力和电位移在不同梯度函数下分布规律是一样的。同时可以得到在自然指数函数情况下，裂纹周围的最大主应力，[σyy]应力和电位移的值最小，而在其他4种函数下，数值有所差别，正弦函数>线性函数>幂函数>几何过程函数，数值分布规律基本一致。这在一定程度上表明了不同的梯度函数作为梯度材料调控的标准，对于功能梯度材料的制造具有重要的意义，可以进一步探究。

4 结论

本文在力电耦合效应下对非均匀压电材料的断裂问题进行了分析。基于非均匀压电材料的本构关系、几何关系及边界条件，利用分层法的理论建立了含不同裂纹类型的非均匀压电材料有限元模型。

1）详细讨论了非均匀压电板在力电耦合效应下，梯度参数的增大，材料均匀性变差，从而使裂纹周围的最大主应力，应力[σyy]及电位移[Dy]增大，非均匀压电板更加容易发生断裂破坏。

2）分别在机械力、电场、力电耦合场作用下，研究了裂纹尺寸和裂纹形状变化对裂纹周围最大主应力，应力[σyy]及电位移[Dy]的影响规律，同时发现力电耦合效应要大于单一机械力或者电场的作用。

3）探究了不同梯度函数对裂纹周围应力和电位移的影响，首次提出几何过程函数的概念来调控非均匀压电材料的梯度变化过程。通过研究力电耦合效应下非均质压电材料中裂纹周围的应力和电位移的分布规律，可为非均质压电材料的制造使用、结构设计及其复杂工况下服役起到借鉴作用。

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[责任编辑    杨    屹]