圆的几何性质应用举例

摘 要：圆具有高度的对称性，有着丰富的几何性质。我们经常利用两条直线的垂直相交的条件来判断点共圆;阿波罗尼斯圆的性质体现了圆半径和到两定点距离比值之间的关系。在解题过程中注意数形结合，利用好圆的几何性质，能够简化运算，达到事半功倍的效果。

关键词：圆;几何性质;举例

《直线与圆的位置关系》是高中数学人教版必修二的内容，在该章中介绍了圆的标准方程和直线与圆的位置关系。圆是一种简单的曲线，具有高度的对称性，有丰富的几何性质。在解题过程中注意数形结合，利用好圆的几何性质，能够简化运算，达到事半功倍的效果。

例1 过抛物线y2=4px（p>0）的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的射影M的轨迹。

解1：（交轨法）：点A、B在抛物线y2=4px（p>0）上，设Ay2A4p，yA，By2B4p，yB

所以kOA=4pyA kOB=4pyB，由OA垂直OB得kOAkOB=-1，得yAyB=-16p2，

又可求得AB方程y-yA=yA-yBy2A4p-y2B4px-y2A4p，即（yA+yB）y-4px-yAyB=0，把yAyB=-16p2代入得AB方程（yA+yB）y-4px+16p2=0 ① 又OM的方程为y=yA+yB-4px ②

由①②消去得yA+yB即得x2+y2-4px=0，即得（x-2p）2+y2=4p2。

所以点M的轨迹方程为（x-2p）2+y2=4p2，其轨迹是以（2p，0）为圆心，半径为2p的圆，除去点（0，0）。

解2：（几何法）：由解1中AB方程（yA+yB）y-4px+16p2=0可得AB过定点（4p，0）而OM垂直AB，所以由圆的几何性质可知：M点的轨迹是以（2p，0）为圆心，半径为2p的圆。所以方程为（x-2p）2+y2=4p2，除去点（0，0）。

该题应用了“已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点是A，动点B，C分别在l1和l2上，过A，B，C三点的动圆是以BC为直径的圆。”由此能迅速提炼出几何等量关系，达到简化运算的效果。

例2 （2008年江苏13）若AB=2，AC=2BC，则S△ABC的最大值。

该题考查三角形面积公式，余弦定理及函数思想，但是运算量大处理有难度。

解1：设BC=x，则AC=2x，

根据面积公式得S△ABC=12AB×BCsinB=x1-cos2B，

根据余弦定理cosB=AB2+BC2-AC22AB×BC=4+x2-2x24x=4-x24x，

代入上式得S△ABC=x1-4-x24x2=128-

（x2-12）216

由三角形三边关系有2x+x>2

x+2>2x解得22-2

故当x=23时取得S△ABC最大值22。

解2：设AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），

设C（x，y），得（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2，化简得（x-3）2+y2=8，

又S△ABC=12AB·|yc|=|yc|≤22。

解3：利用阿波罗尼斯圆性质，点C在以AB为直径的圆上。半径r=

222-1=22，S=22。

解法3中利用了阿波罗尼斯圆相关性质。

公元前3世纪，古希腊数学家阿波羅尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结论：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆。

点A，B为两定点，动点P满足PA=λPB（λ>0），则λ=1时，动点P的轨迹为直线;

当λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆。

以下给出证明（图略）。

以直线AB为x轴，以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系。

设AB=2m，则A（-m，0），B（m，0）

设点P（x，y），由PA=λPB可得（x+m）2+y2=λ（x-m）2+y2，

两边平方整理可得：（λ2-1）x2-2m（λ2+1）x+（λ2-1）y2=m2（1-λ2）

当λ=1时，可得x=0，轨迹是线段AB的中垂线;

当λ≠1（λ>0）时，x-λ2+1λ2-1m2+y2=4λ2m2（λ2-1）2，轨迹是以λ2+1λ2-1m，0为圆心，半径为2λmλ2-1的圆。

阿波罗尼斯圆的常见性质如下：

（1）设AB=a，AP1P1B=AP2P2B=λ，则所做出的阿波罗尼斯圆

直径P1P2=2aλλ2-1=2aλ-1λ，面积为πaλλ2-12。

（2）当λ>1时，点A在圆O外，点B在圆O内;当0<λ<1时，点A在圆O内，点B在圆O外;

（3）当λ=OAr=rOB，即r2=OA·OB，λ越大，圆半径越小。

例3 已知向量a，b满足|b|=3，|a|=2|b-a|，若|a+λb|≥3恒成立，则实数λ的取值范围为。

解：由题意可知向量a的端点的轨迹是一个圆。

设A（x，y），可得A的方程为x2+y2-8y+12=0。

由|a+λb|≥3恒成立，可得x2+y2+6λy+9λ2-9≥0，

即（8+6λ）y+9λ2-21≥0对y∈[2，6]恒成立。

可得（8+6λ）·2+9λ2-21≥0

（8+6λ）·6+9λ2-21≥0，解得λ≥13或λ≤-3。

思考：以上可知在已知定点A、B的条件下，阿波罗尼斯圆的圆心一定在直线AB上。反之，若对一个确定圆，在其对称直线上是否存在确定的两点A、B，使圆上任意一点P到这两点的距离的比值为常数λ呢？

以下以圆心在原点的圆为例给出证明。

不妨设P（x，y）是x2+y2=r2上任意一点，已知定点A（m，0），在x轴上是否存在异于点A的一点B，使得PB=λPA？

设点B（n，0）（n≠m），由PA=λPB可得P的轨迹方程为：

（λ2-1）（x2+y2）+（2n-2λ2m）x+λ2m2-n2=0，

由x2+y2=r2可得（λ2-1）r2+（2n-2λ2m）x+λ2m2-n2=0对任意的x恒成立，

故可得2n-2λ2m=0

（λ2-1）r2+λ2m2-n2=0，所以λ=r|m|

n=λ2m=r2m。

故存在点B，且A、B在x轴的同侧，即圆和其中一点确定，则另一点和比值λ也随之确定。

同理可得，圆和比值λ确定，则A、B两点的坐标可确定，即xA=±rλ

xB=λ2·xA。

例4 在平面直角坐标系中，MN是两个定点，点P是x2+y2=1上任意一点，且满足PM=2PN，则MN的长为。

解：由阿波罗尼斯圆的半径和比值λ之间的关系可得r=MNλ-1λ=23MN=1，∴MN=32。

參考文献：

[1]钟顺荣.浅谈圆的性质在解析几何中的应用[J].中学教研（数学），2018（2）：31-33.

作者简介：陶恒聪，浙江省金华市，浙江省金华市武义县武义第一中学。