数学计算从数数到法则创造

白延秋

在数学教学过程中，笔者常常思考数学是什么？也许有很多的答案，但笔者更崇尚数学是数数的一门学问，在数的过程中，数到十个，成为一捆，就是一个十，十个十就是一百……数着数着加法就产生了;当加数相同时，为了简便运算，乘法就产生了;随之减法、除法以及乘方、开方等运算相继产生。整个从数数到法则的创造，就是从生活中出发到数学创造的过程。难怪，荷兰数学教育家费莱登塔尔说：“数学学习唯一而又正确的方法，就是实行再创造。”

数学学习从数数开始

对于刚刚接触数数的孩子来讲，他们愿意数数的动力未必是实际的需要，更多的是好奇——怎样才能不断地数下去，进而愿意进行这种智力冒险活动。不妨设想这种情境：在成人的引领下，孩子开始数积木或别的什么玩具的个数。不断的实践经验，促使孩子能顺利地数，数具体物品的经历多了，脱离具体事物，继续数下去的欲望也就渐渐产生，遇到困难时，他就会问别人下一个数是几？他的困难可能往往是在20、30……这些“拐弯儿”的地方，越过这个坎儿，他就能兴致勃勃地数下去，到了下一个节点，可能又不行了……如此反反复复，不知什么时候，孩子会小心翼翼地、甘愿冒险地数下去——他既想着独立迈过这个坎儿，又担心出错，一边想，一边看着成年人。如果他能成功越过险关，那种激动的心情是很强烈的。这确实是值得特别庆贺的事，因为孩子发现了数数（十进制）的重大规则。从此，数数的道路上基本没有什么困难了，到了整百的地方也会很容易迈过去，他已经拥有足够多的经验来应对新情况了。

小学数学教材往往把数数的内容分成几段：10以内，20以内，100以内……这种分段教学，好处是降低了难度，便于学生掌握相应的内容，但其损失也是致命的：学生丧失了独立获得数数规则的机会。笔者想，能否把数数作为一个专门的教学活动来安排？能否以100为一个阶段，100到200为一个阶段？刚入学的孩子，其数数的经历已有很大差别，有些孩子能自如地数数，有的就很困难。教师可以对不同水平的学生布置不同的任务：一个一个地数、两个两个地数。只要任务具有合适的挑战性，就能发展个体的智慧。

实践表明：大约一个月，大部分学生就能很流利地数偶数了;但数奇数较困难，要延续更长的时间来训练。我们不妨从孩子的角度想想，之所以困难，是因为还没有“发现”规律，不断地数，就要不断地尝试，用自己的经验和设想去分析、归纳，直到某一天，眼前一亮：“啊，我知道怎么数了！”这种数数的教学活动，对于学生的心智发展是很有好处的。最大的收获是自己发现了规则。同时，学生对基数、序数的意义也在自然地发展着。加法的含义、减法的含义也会不断地强化：往“里”数就是不断地加，往“外”数就是不断地减。课堂观察表明，当学生能比较顺利地小规模地群数（2个、3个）的时候，其运算水平也就没有什么问题了。并且，群数还为乘法的引入奠定了基础。

学生数数的时候，老师要适当地用教具给予直观支持，北京特级教师马芯兰提出的“数位桶”方法就很好，数到十就捆成一捆儿，放到另一个桶里……十进制的规则就这样清晰地建立起来了。倒着数的时候，就反方向演示。从目前的教材编排和课堂实际看，我们的数数活动分量太少了，数数的区间也小，这就阻碍了学生充分感知自然数列的机会。实践表明：把数数作为一个重要的、长期的教学活动来进行，其综合效益是令人欣慰的。

让学生自己创建笔算加法规则

在孩提时代学习数学的过程中，我们经常有这样的疑问：为什么笔算加法、减法、乘法要从低位算起，而除法要从高位算起;为什么计算除数是小数的除法时，要先把除数变成整数，再移动被除数的小数点，反过来行不行？英语中有26个字母，方程中的未知数既不从A开始，也不从末尾的Z开始，偏偏从X开始表示，这是为什么？记得《光明日报》2002年9月3日第二版刊载：水稻专家袁隆平在学生时代也遇到过类似的问题，当他提出“在乘法运算中为什么负负得正”的问题时，得到的回答是：“你只要记住怎样做即可，不必关心为什么这样做。”有了几次类似的经历后，结局是袁隆平先生放弃了对数学的追求。这是一个多么可怕的现象：在数学学习生活中，学生的追根求源、决不放过任何疑问的欲望没有得到鼓励和加强，反而，天然的求知欲望被压抑，我们在数学学习过程中习得了“不必问为什么”的观念和习惯。久而久之，言听计从，人云亦云，个性萎靡，思想麻木，就成为必然的“学习成果”之一。扭转这种局面是课程改革的目的之一。作为教师，要从每一节课做起，把教材改造成有利于让学生理解知识是怎样产生的研究素材;把教学过程变成实践研究、各抒己见、分享群体智慧的过程。

在具体实施过程中，教师要尊重和顺应学生的思维方式，让他们在潜移默化中形成笔算加法的规则。学生通过多思路所角度思考，形成自己的见解，并从多種解题思路中选出一种最简单、最适合自己的计算方式。这是一个创建规则的过程。同时，在他们思考的过程中，这些规则和算法也不会再充满秘密且需要生搬硬套。经历这个遴选过程，有利于增长智慧，强化情感体验，深化对数学的理解。关于乘、除、乘方、开方等运算在此不再赘述。

结束语

数学学习从数数到法则的创造，以至于加减乘除、乘方、开方等形成运算法则，这正是数学创造的过程。今天的数学教育要沿着这条再创造的路线去生成和发展。

（作者单位：山东省济南市上新街小学）