一类奇摄动方程组的内部层

张煜韬, 倪明康

(华东师范大学 数学科学学院, 上海 200241)

0 引 言

近年来奇摄动理论受到广泛关注[1-3], 并被应用于各种实际问题中, 如各生态模型[4]、 城市发展模型[5]等. 在处理奇摄动问题时, 通常会遇到内部层现象, 这类解称为空间对照结构[6]. 其特点是在短时间内解会发生剧烈变化, 一般表现为从一个退化解跳跃到另一个退化解. 该问题在流体力学、 化学反应理论[7]和生物学等领域应用广泛. 本文主要研究一类奇摄动Hamilton系统的内部层, 这类系统在力学中应用广泛.

考虑如下具有第二类边界条件的奇摄动Hamilton系统:

(1)

其中μ为正小参数. 为讨论方便, 给出如下假设条件:

(H1) 假设退化方程

在t∈[0,1]内有两个孤立根(φi(t),ψi(t))T(i=1,2).

(H2) 假设函数H(u,v,t)无限次可微.

(H3) 假设如下不等式成立：

1 第二类边值条件奇摄动Hamilton系统阶梯状解

1.1 形式渐近解的构造

参考文献[8], 本文将证明问题(1)存在从(φ1(t),ψ1(t))转移到(φ2(t),ψ2(t))的阶梯状解[9], 其中转移点为t*, 假设其有如下展开式：

t*=t0+μt1+…+μntn+…,

(2)

其中ti(i=1,2,…)待定. 原问题的阶梯状解可视为由下列两个纯边界层问题的解复合而成.

左问题(0≤t≤t*):

(3)

右问题(t*≤t≤1):

(4)

这里u*可事先取定. 为了保证左右问题在连接点处连续, 需满足v(-)(t*,μ)=v(+)(t*,μ).

利用边界层函数法构造左右问题的渐近解:

其中:

Rx(τ0,μ)=(Ru(τ1,μ),Rv(τ1,μ))T;Q(∓)x(τ,μ)=(Q(∓)u(τ,μ),Q(∓)v(τ,μ))T.

由边界层函数法的指数衰减性[10], 对任意k≥0, 如下公式成立:

将式(5),(6)代入式(3),(4), 得

1.2 正则项级数的求解

(13)

(14)

由条件(H1), 方程组(14)有解

(15)

(16)

1.3 边界层级数的求解及指数衰减性

确定边界层级数Lx,Rx的方程组和定解条件为

(17)

以及

(18)

由于左右边界层的求解类似, 因此本文只给出确定左边界层级数的过程. 将式(17)在μ=0处Taylor展开, 得到确定(L0u(τ),L0v(τ))T的微分方程组及定解条件:

(19)

方程组有零解L0u=0,L0v=0.

确定(Lku(τ0),Lkv(τ0))T(k≥1)的方程组和定解条件为

(20)

求解该常系数线性微分方程组可得

其中λ1为式(20)特征方程的负特征根. 于是可得估计式：

‖Lkx(τ0)‖≤Ceλ1τ0,τ0≥0,

其中C为实常数, 在不同的估计式中常数C可取不同值.

同理对右边界层求解, 零次近似有解R0u=0,R0v=0. 当k≥1时, 有解

其中λ2为对应特征方程的正特征根. 同理可得指数衰减性:

‖Rkx‖≤Ceλ2τ1,τ1≤0,

其中λ2为确定右边界层函数方程组的常系数矩阵的正特征值.

1.4 内部层级数的求解及指数衰减性

考虑到边界层函数具有指数衰减性, 对内部层的影响可忽略不计, 于是可得确定Q(∓)x的方程和定解条件:

(21)

(22)

做变量替换

得

(23)

注意到上述两个系统形式一致, 且在连接点处取值相同, 于是可得联合系统：

(24)

(25)

过平衡点M2: (φ2(t0),ψ2(t0))的轨线为

(26)

于是可得存在连接这两个平衡点异宿轨道的充要条件:

H(φ1(t0),ψ1(t0),t0)=H(φ2(t0),ψ2(t0),t0).

此为确定t0的方程, 事实上t0可能不止一个, 这里仅考虑有一个的情形. 为了保证内部层级数的指数收敛性以及阶梯状解的存在性, 提出如下假设:

(H5)Huv|(φ1(t0),ψ1(t0),t0)>0,Huv|(φ2(t0),ψ2(t0),t0)<0.

引理1如果满足条件(H1)～(H5), 则以下不等式成立：

(29)

证明: 下面仅证明左问题内部层的指数衰减性, 右问题同理可证. 系统(22)具有首次积分

由条件(H4), 存在函数T, 使得

(30)

将式(30)代入式(22)中第一个方程并变形为

(31)

其中

1) 由条件(H2),K(0)=0.

2) 对任意的ε>0, 存在η>0, 使得当|x1|<η, |x2|<η时, 有

|K(x1)-K(x2)|≤ε|x1-x2|.

(32)

|K(x1)-K(x2)|=|K′(x1+θ(x2-x1))(x2-x1)|≤ε|x1-x2|, 0<θ<1,

x0(τ)=exp{W(t0)(τ-τ0)}x(τ0),

则|x0(τ)|≤δexp{κ0(τ-τ0)}. 取k=1,2,…, 得

估计

|x1(τ)-x0(τ)|≤qeκ0τ,x0(τ)≤eκ0τ.

用数学归纳法可证： 当τ≤τ0时, 有

|xk(τ)|≤(1+q+…+qk)eκ0τ,

(33)

|xk(τ)-xk-1(τ)|≤qkeκ0τ.

(34)

首先可知当k=1时正确, 假设式(33),(34)从1到k均成立, 对于k+1, 有

|xk+1(τ)|≤|xk(τ)|+|xk+1(τ)-xk(τ)|≤(1+q+…+qk+1)eκ0τ,

从而式(33),(34)对k+1也正确.

利用恒等式

得到一致收敛的函数列{xk(τ)}, 从而令k→+∞, 极限即为式(31)的解, 且有估计:

其中c=max{c1,M/eκ0τ0}.

由式(30)得

(35)

根据条件(H1), 有

(36)

将式(36)代入式(35)的第一个方程, 可得确定q(∓)(τ)的方程:

利用常数变易法得一阶近似解为

(37)

(38)

(39)

(40)

计算其中部分项有

代入式(41), 可得

(42)

同理有

同理可得

由式(43)～(45)得

(48)

由式(46)～(48)可得确定t1的方程：

下面说明t1前的系数非零. 由式(24)以及假设(H3), 在t0的一个小邻域内有如下首次积分:

(50)

(51)

得

Ht(φ2(t0),ψ2(t0),t0)-Ht(φ1(t0),ψ1(t0),t0)≠0,

从而t1可由式(49)确定.

(54)

其中:P(∓)已知;

方程(54)的求解方式与k=1时相同, 可解得

考虑到光滑缝接条件所满足的关系:

tk[Ht(φ2(t0),ψ2(t0),t0)-Ht(φ1(t0),ψ1(t0),t0)]+Fk(t0,t1,…,tk-1)=0,

其中Fk为已知函数. 注意到tk前的系数非零, 可以唯一确定tk.

引理2如果满足条件(H1)～(H5), 则有下列不等式(k≥1):

(57)

证明： 这里只说明左问题的内部层, 右问题同理可证.

(58)

Meλτ(aτ+b)=(aτ+b)Meλ1τe(λ-λ1)τ≤LMe(λ-λ1)τ,

问题(35)的解在初始条件下根据式(58)可以写成

(59)

其中Φ(τ)为下述齐次方程的基解矩阵:

(60)

为了保证解的线性无关性, 不妨假设k≠0. 通过上述关系, 可得确定q(τ)的方程:

类似于引理1的证明, 采用逐次逼近法得到p(τ)与q(τ)的指数衰减性, 于是证明了‖Φ(τ)‖≤Ceκτ. 从而有‖Φ(τ)Φ-1(s)‖≤Ceκ(τ-s), 代入式(58), 得

其中κ1=min{κ,η},C1充分大. 于是k=1时得证.

1.5 阶梯状解的存在性

定理1如果满足假设(H1)～(H5), 则问题(1)存在具有阶梯状空间对照结构的解, 并有下列渐近表达式：

其中:τ=(t-t*)/μ;τ0=t/μ; 0≤t≤t*.

其中:τ=(t-t*)/μ;τ1=(t-1)/μ;t*≤t≤1.

tk[Ht(φ2(t0),ψ2(t0),t0)-Ht(φ2(t0),ψ2(t0),t0)]+Fk(t0,t1,…,tk-1)=0.

同理有

由条件(H4), Δv′(t0)≠0, 不妨取Δv′(t0)>0,δ>0, 取μ充分小, 使得

[Δv′(t0)δ]μn+O(μn+1)>0, -[Δv′(t0)δ]μ+O(μn+1)<0,

2 实 例

下面给出Hamilton系统并具有第二类边界条件：

(61)

其中Hamilton函数H=v(u2-(t+1)2)-u2t/2+ut-u/2. 退化问题

有两个孤立解:

计算

(Huv)2-HuuHvv|(φ1(t),ψ1(t))=(Huv)2-HuuHvv|(φ1(t),ψ1(t))=4(t+1)2>0,

为了寻找阶梯状解, 由上述分析可得确定t0的方程:

Hamilton函数可以分离变量v, 利用首次积分, 得到两条轨线:

则

因此方程(61)具有如图1和图2所示的空间对照结构解, 取μ=0.1.

图1 u(t)函数图像

图2 v(t)函数图像