分数阶脉冲泛函微分方程积分边值问题解的存在性

李庭乐, 贾 梅, 刘锡平, 郑雯静

(上海理工大学 理学院, 上海 200093)

0 引 言

分数阶微分方程在自动控制、 航天技术、 信号识别、 生物数学、 物理学、 力学等领域应用广泛, 目前, 对分数阶微分方程边值问题的研究已取得了丰富的成果[1-9]. 由于脉冲现象大量出现在医学、 人口动力学、 经济学、 航空航天等领域中, 因此含脉冲的分数阶微分方程已被研究者广泛关注[10-15]. 近年来, 含脉冲的泛函微分方程也取得了一些研究成果[16-17].

本文考虑如下一类含有脉冲的分数阶泛函微分方程积分边值问题解的存在性与唯一性：

(1)

其中: 2<α<3; 0<β<1; 0<η<1;r≥0;J′=[0,1]{t1,…,tm},J0=[0,t1],Jk=(tk,tk+1],k=1,2,…,m, 0=t0

1 线性脉冲微分方程边值问题解的存在唯一性

Riemann-Liouville分数阶积分和Caputo导数的定义及相关性质可参见文献[1-2].

引理1设y∈L[0,1], 则Cauchy问题

(2)

的解为

(3)

又由初值条件u(ξ)=u0可得式(3). 证毕.

为方便讨论, 记

本文假设ρ≠0.

引理2设y∈L[0,1],a∈, 则线性分数阶脉冲微分方程边值问题:

(4)

存在唯一解

(5)

其中:

由边界条件u(0)=0知d10=0, 所以

(6)

(7)

当t∈(t1,t2]时, 由引理1及Δu|t=t1=I1(u(t1)), 有

所以

(8)

由式(6)～(8)可得,

(9)

(10)

因此,

类似地, 当t∈(tk,tk+1]时,k=2,3,…,m, 有

(12)

(13)

(14)

(15)

由式(14),(15)可知, 对任意的l=1,2,…,m, 有

因为0<η<1, 所以存在k0∈{0,1,…,m}, 使得η∈(tk0,tk0+1], 因此

注意到式(16),(17),(11), 经过整理可得

另一方面, 易验证由式(5)得到的u(t)满足边值问题(4). 证毕.

2 核函数的性质及算子的全连续

引理3引理2中定义的函数G(t,s)满足下列条件:

1)G(t,s)在[0,1]×[0,1]上连续;

2) 对任意的t,s∈[0,1], 有|G(t,s)|≤N0.

证明: 1) 由函数G(t,s)的表达式可知,G(t,s)在[0,1]×[0,1]上连续.

2) 由于0<β<1, 所以对任意的t∈[0,1], 有|(2-β)t2-2t|≤1. 因此, 对任意的t,s∈[0,1], 有

证毕.

引理4引理2中定义的函数φu(t)有如下性质:

2) 对任意的u1,u2∈E, 且‖u2-u1‖E→0, 则‖φu2(t)-φu1(t)‖E→0;

3) 存在M,M1>0, 使得对任意的u∈E, 若‖u‖E≤M1, 则‖φu‖E≤M;

（2）电源功率 在一定的频率下，感应加热速度取决于零件单位表面积上所吸收的电功率，也就是所谓的比功率。显然，比功率越大，加热速度越快。加热速度除了与比功率有关外，还与频率有关。在相同的比功率下，频率越高，电流透入深度越浅，具有较高的加热速度。

2) 对任意的u1,u2∈E, 有

因为‖u2-u1‖E→0, 即对任意的ti∈[-τ,1], 有|u2(ti)-u1(ti)|→0, 又因为函数Ii,Qi,Ri(i=1,2,…,m)连续, 所以|φu2(t)-φu1(t)|→0, 于是‖φu2(t)-φu1(t)‖E→0.

3) 对任意的u∈E, 因为‖u‖E≤M1, 又函数Ii,Qi,Ri(i=1,2,…,m)是连续的, 所以Ii(u),Qi(u),Ri(u)(i=1,2,…,m)在[-M1,M1]上有界, 而

所以存在M>0, 使得若‖u‖E≤M1, 则‖φu‖E≤M.

4) 因为Ω⊂E为有界集, 故存在ω0,ω1>0, 使得对任意的u∈Ω, 有‖u‖E≤ω0. 又由于函数Ii,Qi,Ri(i=1,2,…,m)连续, 则|Ii(u(t))|≤ω1, |Qi(u(t))|≤ω1, |Ri(u(t))|≤ω1,t∈[-τ,1].

根据引理2可得:

引理5边值问题(1)与积分方程

(18)

等价.

令

(19)

等价, 且z∈E0.

定义算子F:E0→E0,

(20)

积分方程(18)在E中的解等价于积分方程(19)在E0中的解, 即算子F在E0中存在不动点.

引理6算子F:E0→E0为全连续算子.

证明: 设{zn}⊂E0,z∈E0, 当n→∞时, ‖zn-z‖0→0, 所以存在r0>0, 使得‖zn‖0≤r0, ‖z‖0≤r0. 因为f,h,Ii,Qi,Ri(i=1,2,…,m)连续, 所以对任意的s∈[0,1], 由σ∈[-τ,0]可知,s+σ∈[-τ,1], 因此‖zns-zs‖0→0, 故

于是由引理3知, 对任意的t∈[0,1], 有

由引理4和Lebesgue控制收敛定理知, ‖Fzn-Fz‖0→0(n→∞), 从而F是连续的.

|f(t,z(t),φt+zt)|≤M2, |h(t,z(t))|≤M3.

3 解的存在性与唯一性

假设条件：

(H1) 存在非负函数ai∈C([0,1])(i=0,1,2,3,4), 常数γ>0,σj>0(j=1,2), 使得对t∈[0,1]及任意的x∈,v∈C1, 有

(H2) 存在常数pi,θi>0(i=1,2,3), 使得对任意的x∈及k=1,2,…,m, 有

(H3) 存在非负函数bi∈C([0,1])(i=1,2,3), 使得对任意的t∈[0,1]及x1,x2∈,v1,v2∈C1, 有

|f(t,x2,v2)-f(t,x1,v1)|≤b1(t)|x2-x1|+b2(t)‖v2-v1‖C1,

|h(t,x2)-h(t,x1)|≤b3(t)|x2-x1|;

(H4) 存在常数w1,w2,w3>0, 使得对任意的x1,x2∈(k=1,2,…,m), 有

|Ik(x2)-Ik(x1)|≤w1|x2-x1|, |Qk(x2)-Qk(x1)|≤w2|x2-x1|,

|Rk(x2)-Rk(x1)|≤w3|x2-x1|.

为方便讨论, 记

定理1若假设条件(H1),(H2)成立, 且0<γ<1, 0<σi<1(i=1,2), 0<θj<1(j=1,2,3), 则边值问题(1)至少存在一个解.

证明: 令θ=max{σ1,σ2,θ1,θ2,θ3,γ}, 则0<θ<1. 取

r1≥max{1,‖φ‖C1,2(N0‖a0‖+ρ1‖a3‖),(2(N0‖a1‖+2N0‖a2‖+ρ2+ρ1‖a4‖))1/(1-θ)}.

令D1={z|z∈E0, ‖z‖0≤r1}, 则D1为E0中非空有界闭凸集. 对任意的z∈D1, 有

因此‖Fz‖0≤r1, 从而F(D1)⊂D1. 由引理6知F全连续, 于是由Schauder不动点定理知F在D1中至少存在一个不动点, 即边值问题(1)在E中至少存在一个解. 证毕.

定理2若假设条件(H1),(H2)成立, 如果有γ=σi=θj=1(i=1,2;j=1,2,3),N0(‖a1‖+‖a2‖)+ρ2+ρ1‖a4‖<1, 则边值问题(1)至少存在一个解.

因此‖Fz‖0≤r2, 于是F(D2)⊂D2. 由引理6知F全连续, 所以由Schauder不动点定理知F在D2中至少存在一个不动点, 即边值问题(1)在E中至少存在一个解. 证毕.

定理3若假设条件(H1),(H2)成立, 如果有γ>1,σi>1(i=1,2),θj>1(j=1,2,3), 且当t∈[0,1]时,a0(t)=a3(t)恒为0. 如果‖φ‖C1<1, 且N0(‖a1‖+2σ2‖a2‖)+ρ2+ρ1‖a4‖<1, 则边值问题(1)至少存在一个解.

证明: 令σ=min{σ1,σ2,θ1,θ2,θ3,γ}, 则σ>1. 由于‖φ‖C1<1, 取‖φ‖C1≤r3≤1. 令D3={z|z∈E0,‖z‖0≤r3}, 则D3为E0中非空有界闭凸集. 对任意的z∈D3, 与定理1的证明类似可得

因此‖Fz‖0≤r3, 于是F(D3)⊂D3. 由引理6知F全连续, 从而由Schauder不动点定理知F在D3中至少存在一个不动点, 即边值问题(1)在E中至少存在一个解. 证毕.

令

定理4若假设条件(H3),(H4)成立, 如果N0(‖b1‖+‖b2‖)+λ+ρ1‖b3‖<1, 则边值问题(1)存在唯一解.

证明: 任取z1,z2∈E0, 有

所以

‖Fz2-Fz1‖0≤[N0(‖b1‖+‖b2‖)+λ+ρ1‖b3‖]‖z2-z1‖0,

由条件知F是压缩的, 于是由压缩映射原理知F在E0上存在唯一不动点, 即边值问题(1)在E中有唯一解. 证毕.

4 应用实例

例1考虑如下脉冲泛函微分方程边值问题:

(21)

对任意的t∈[0,1],x∈,v∈C1, 有

所以满足假设条件(H1).

因此满足定理1的所有条件, 所以边值问题(21)至少存在一个解.