φ-截曲率为常数的Sasaki统计流形中子流形的广义标准δ-Casorati曲率不等式

李德恩, 张 量

(安徽师范大学 数学与统计学院, 安徽 芜湖 241000)

文献[5]引入了统计结构的概念, 该结构涉及到Riemann流形上的对偶联络, 并在此基础上给出了统计流形的定义. 由于Riemann度量与对应的Levi-Civita 联络本身是一种最简单的统计结构, 因此统计结构可视为Riemann结构的推广. 文献[6]通过在Sasaki流形上赋予统计结构, 得到了Sasaki统计流形; 文献[7]通过在复流形上赋予统计结构得到了全纯统计流形. 进一步, 常曲率的统计流形可视为实空间形式的推广,φ-截曲率为常数的Sasaki统计流形可视为Sasaki空间形式的推广, 全纯截曲率为常数的全纯统计流形可视为复空间形式的推广. 文献[8]对常曲率统计流形中的子流形建立了关于Casorati曲率与标准数量曲率之间的不等式; 文献[9]对φ-截曲率为常数的Sasaki统计流形中一些特殊类型的子流形建立了关于广义标准δ-Casorati曲率的不等式. 本文对这种外围空间中一般类型的子流形建立关于广义标准δ-Casorati 曲率的不等式, 并讨论不等式等号成立时子流形的性态. 本文结果推广了文献[9]中的部分结论.

1 预备知识

(1)

(2)

(3)

(4)

这里:X,Y为M上的切向量场;XY,h(X,Y)分别为的切分量和法分量;分别为的切分量和法分量. 可以证明: (,g)为M上的统计结构[10], 此外h,h*称为M关于的第二基本形式, 满足

h(X,Y)=h(Y,X),h*(X,Y)=h*(Y,X).

用S表示(,g)的统计曲率张量, 则有Gauss方程[12]

其中X,Y,Z,W为M上的任意切向量场.

i,j=1,2,…,n;α=n+1,n+2,…,m.

对任意的p∈M, 定义M在p点关于的数量曲率τ(p)为

记

2h0=h+h*, 2H0=H+H*.

(6)

(8)

进一步, 对任意不等于n(n-1)的正实数r, 令

(9)

(10)

φ2X=-X+η(X)ξ,φξ=0,η(φ(X))=0,η(ξ)=1,

φX=PX+FX,

(11)

P=φ,F=0,

P=0,F=φ.

(12)

引理1[16]设x0∈M为问题(12)的解, 则:

2) 双线性形式

A:Tx0M×Tx0M→,

是半正定的. 其中: gradf为函数f的梯度;h为M的第二基本形式.

2 主要结果

对式(15)两边关于1≤i,j≤n求和, 利用定义7及式(11)可得

将式(6)代入式(16)可得

令

这里L为TpM的超平面, 取L的一组单位正交基{e1,e2,…,en-1}, 根据式(7),(8)以及式(17)可得

进一步， 有

对任意的α=n+1,n+2,…,2m+1, 考虑二次型fα:n→,

(20)

将问题minfα限制于条件

其中kα为常数. 对函数fα求偏导有

(21)

(22)

设x为Fα上任意一点, 则引理1中的双线性函数A:TxFα×TxFα→为

这里h′为Fα在n中的第二基本形式,为n上的欧氏度量. 在n的自然标架下,fα的Hessian矩阵为

其中

可以验证

故有

(23)

再结合式(18), 有下列不等式成立:

由式(9),(10)可得不等式(13),(14)成立.

(24)

(25)

(26)

(27)

‖ξT‖=‖ξ‖=1,P=φ,F=0,

且

将其代入式(13),(14)可得式(24),(25).

P=0, ‖ξT‖2=0,

将其代入定理1, 即得文献[9]中定理3.

(28)

(29)