Yetter-Drinfeld拟模范畴上的Hopf拟模

张 涛

(东南大学 数学学院, 南京 210096)

1 Yetter-Drinfeld拟模范畴上的Hopf拟群

一个Hopf拟群[4]H是一个有单位元的代数(不一定结合), 其上有3个线性映射：Δ:H→H⊗H,ε:H→k和S:H→H, 对任意的a,b∈H, 满足下列等式：

设H是一个Hopf拟群,M是一个线性空间, 具有一个线性映射： ·:H⊗M→M, 使得对任意的a∈H,m∈M, 有1H·m=m, 并且等式：

∑a1·(S(a2)·m)=∑S(a1)·(a2·m)=ε(a)m

(1)

成立, 则称M是一个左H-拟模[6-7,10].

对偶地, 一个Hopf余拟群H是一个有单位元的结合代数, 其上有3个线性映射：Δ:H→H⊗H,ε:H→k和S:H→H, 对任意的a,b∈H, 满足下列等式：

设H是一个Hopf余拟群,M是一个线性空间, 具有一个线性映射：ρ:M→H⊗M, 其中ρ(m)=∑m-1⊗m0, 使得对任意的m∈M, 有∑ε(m-1)m0=m, 并且等式：

∑S(m-1)m0-1⊗m00=∑m-1S(m0-1)⊗m00=1⊗m

(2)

成立, 则称M是一个左H-余拟模[6-7].

设H是一个Hopf拟群,M是一个左H-拟模(M,·), 且是一个通常意义下的左H-余模(M,ρ). 若对任意的a,b∈H,m∈M, 下列等式：

∑(a1·m)-1a2⊗(a1·m)0=∑a1m-1⊗a2·m0,

(3)

∑m-1(ab)⊗m0=∑(m-1a)b⊗m0,

(4)

∑a(m-1b)⊗m0=∑(am-1)b⊗m0

(5)

成立, 则称M=(M,·,ρ)是H的一个左-左Yetter-Drinfeld拟模[6].

注意到对任意的a,b∈H,m∈M, 式(3)等价于下列等式：

(7)

(8)

∑(m-1n-1)·p⊗m0⊗n0=∑m-1·(n-1·p)⊗m0⊗n0

(9)

∑(n-1a)·m⊗n0=∑n-1·(a·m)⊗n0,

(10)

∑(am-1)·n⊗m0=∑a·(m-1·n)⊗m0

(11)

引理1和推论1的结论易见, 故证明略.

设H是一个有双射对极的Hopf拟群. 由上述讨论可知, 有如下关系：

Δ(xy)=∑x1(x2-1·y1)⊗x20y2,Δ(1)=1⊗1,

(12)

ε(xy)=ε(x)ε(y),ε(1H)=1,

(13)

ρH(xy)=∑(xy)-1⊗(xy)0=∑x-1y-1⊗x0y0,ρH(1H)=1L⊗1H,

(14)

∑x-1⊗x01⊗x02=∑x1-1x2-1⊗x10⊗x20, ∑x-1εH(x0)=εH(x)1,

(15)

l·(xy)=∑(l1·x)(l2·y),l·1H=ε(l)1H,

(16)

Δ(l·x)=∑(l1·x1)⊗(l2·x2),ε(l·x)=ε(l)ε(x),

(17)

SH(xy)=∑((S(x))-1·SH(y))(S(x))0=∑(x-1·S(y))S(x0),S(1)=1,

(18)

Δ(S(x))=∑Σx1-1·S(x2)⊗S(x10),ε(S(x))=ε(x).

(19)

引理2对任意的l∈L,f∈H*,H∈H, 定义如下拟作用：

(l·f)(h)=f(SL(l)·h),

(20)

则H*是一个左L-拟模.

证明: 对任意的l∈L,f∈H*,H∈H, 有

可类似地验证等式∑l1·(S(l2)·f)=ε(l)f. 证毕.

引理3对任意的h∈H,f∈H*, 通过定义ρH*(f)=∑f-1⊗f0, 其中

(21)

证明: 首先, 对任意的h∈H,l∈L,f∈H*, 验证式(3)有

其次, 对式(4), 有

类似地可以验证式(5)成立. 证毕.

易见, 有:

引理4对任意的左L-余模V, 分别定义θV:H*⊗V→Hom(H,V),θ2:H*⊗H*→(H⊗H)*和θ3:H*⊗H*⊗H*→(H⊗H⊗H)*为：

则θV,θ2和θ3都是双射.

1) 乘法：

(22)

2) 余乘：

(23)

或∑f1(x)f2(y)=∑f((y-1·x)y0);

证明: 不难验证H*是一个结合的有单位元的代数. 对任意的f,g∈H*,x,h∈H, 有下列性质.

1) 余单位性：

类似地, 有∑εH*(f2)f1(h)=f(h).

2) 对极性质：

类似在, 有∑(f1SH*(f21))(x)f22(y)=1H*(x)f(y).

3) 余乘: 对任意的x,y∈H, 一方面, 有

另一方面, 有

4) 左L-余模代数: 对任意的x∈H, 有

5) 左L-余模余代数: 对任意的x,y∈H, 有

6) 对于等式(16), 有

7) 对于等式(17), 有

τM,N(m⊗n)=∑σ(S-1(n(-1)),m(-1))R(1)·n0⊗S-1(R(2))·m0;

∑h1R(2)⊗h2·(R(1)·m)=∑R(2)h2⊗R(1)·(h1·m)

证明: 对任意的m∈M,h,x∈H, 有

类似地, 可以验证∑((m⊗h)·SH(x1))·x2=ε(x)m⊗h成立. 证毕.

根据式(10),(15), 对任意的m∈M,h∈H, 定义M⊗H上的右H-余作用为ωM⊗H(m⊗h)=∑m0⊗(m1)-1·h1⊗(m1)0h2, 则M⊗H是一个右H-余模.

2) 设P(m)=∑m0SH(m1),m∈M, 则P(m)∈Mco H; 若n∈Mco H且h∈H, 则ωM(nh)=∑nh1⊗h2且P(nh)=nε(h).

3) 映射F:Mco H⊗H→M,F(n⊗H)=nh是Hopf拟模同构; 拟映射为G(m)=∑P(m0)⊗m1.

2) 对任意的m∈M, 有

3) 易验证F是左L-拟模同态(根据式(24)), 且是左L-余线性的(根据式(25)). 由文献[2]中定理3.6和结论2)知,F是右H-拟线性的且H-余线性的. 再根据结论2)和式(1), 易验证G∘F=idMco H⊗H,f∘G=idM. 证毕.

ωH*:H*→Hom(H,H)≅H*⊗H,ωH*(f)(x)=∑f(x1)SH(x2).

其中,ωH*(f)=∑f0⊗f1, 即

∑f0((f1)-1·x)(f1)0=∑f(x1)SH(x2).

(29)

事实上, 有

将εH代入式(29), 再根据式(14), 有(idH*⊗εH)ωH*(f)=f.

(H*)co H=Hom-H(H,K)(∶={f∈H*|∑f(x1)x2=f(x)1H,x∈H}).

证明: 1) 验证余不变性的过程与文献[1]中定理2相似, 故略.

2) 对任意的h,x∈H,f∈H*, 有

3) 式(25)～(27)的验证过程与文献[1]中定理2相似, 故略.

4)