圆周率的一个新公式

魏宇辉 曹明响

【摘要】本文通过对等边三角形内切圆进行分割，利用高等数学的极限思想及一阶二次递归数列得到圆周率的一个新的计算公式.新公式相比于已有的圆周率计算公式，不仅在精度上而且在计算时间上都有很大的优势.当循环次数不超过20时，可得到小数点后12位;当循环次数等于21时，可得到小数点后一千万位.本方法可以作为计算圆周率的一种简单的、精确度高的方法.

【关键词】圆周率;内切圆;极限;一阶二次递归数列

一、引言

圆周率用第十六个希腊字母π表示，是精确计算圆的周长与面积、球的体积等几何图形的关键常数，在数学、物理学、天文学等领域中有着重要的作用.圆周率的计算最早可追溯至公元前3世纪，其计算方法更是多种多样.本文基于三角形内切圆的分割，根据扇形面积与三角形面积近似相等的想法，得到一个计算圆周率的公式.

二、历史上对π的探索

（一）几何算法

公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德利用单位圆的内接正多边形和外接正多边形，不断对正多边形的边数加倍来逼近圆周.公元3世纪中期，中国刘徽创立了割圆术，这是圆周率古典计算方法上的突破.通过不断对圆内接正多边形的边数增倍，使得正多边形的周长无限逼近圆的周长.在历史上取得巨大成就的当属公元5世纪的中国数学家祖冲之，他给出圆周率介于约率22[]7和密率355[]113之间.他演算出的圆周率值有8位，此成果在当时是最精确的，在世界上保持了近千年的纪录.

（二）分析算法

利用分析法求圆周率的值是基于无穷级数进行计算的，它突破了求多边形的边长的繁杂过程，给出圆周率的显性解析式.1579年，法国数学家韦达首次提出了关于圆周率的关系式.

1650年，英国数学家约翰·沃利斯利用微积分推出圆周率的公式.此后，英国数学家夏普、德国数学家莱布尼茨、英国天文学家马青及瑞士数学家欧拉等都利用反正切函数的级数展开式给出不同的圆周率计算公式.晚清时期，中国数学家李善兰在用尖锥术求圆面积的时候，得到了圆周率的公式.由于圆周率在理论研究和实际应用中的重要作用，人们对圆周率的研究与探索从未停下脚步.关于圆周率的历史演算方面的详细叙述请参阅文献[1-3].

三、利用正三角形内切圆求π

五、结论

1.本算法通过对正三角形内切圆进行不断分割，利用微元法思想联系三角形面积与扇形面积在无限次切割后相等，从而联立等式.利用三角函数与一阶二次递归数列不断化简，从而得出了圆周率的一个新公式.

2.当n=10时，使用本文所提出的公式可准确算出圆周率的小数点后5位;当n=21时，可准确算出圆周率的小数点后12位;当n=23时，目前测试结果显示可精确到小数点后一千万位，精确位数上限未知.

注意：

对于本文的计算方法可以推广到在圆内取任意圆心角为α，α∈（0，π），以圆的半径r，作等腰三角形.对该三角形进行多次分割后，三角形面积则会无限接近于对应的扇形面积，下面给出证明过程.

【参考文献】

[1]强春晨，刘兴祥，岳育英.圆周率计算方法发展史[J].延安大学学报（自然科学版），2012（02）：42-46.

[2]杨旭.圆周率π的历史演算与历史作用[J].科技资讯，2013（03）：206-208.

[3]魏曉妮.历史上对圆周率的探索[D].临汾：山西师范大学，2013.

[4]吴润鑫.关于圆周率的又一种解法[J].数学学习与研究，2018（03）：151-153.