空间直角坐标系下点到直线的距离的几种计算方法

【摘要】平面和直线是空间直角坐标系下最簡单也是最重要的点的轨迹.以向量为工具，建立平面和直线的方程，以此来研究直线和平面的相关问题，是重要的方法之一.在这篇文章里，我们将用四种完全不同的方法来研究空间直角坐标系下定点到定直线的距离问题，以此来强调空间直角坐标系下直线和平面的问题中经常用到的一些方法，比如解平面束方程的方法、点落在直线上的参数表示法、两向量垂直则这两个向量的数量积为零等等.

【关键词】点;直线;平面;距离

前 言

著名的作家培根说过：“历史使人贤明，诗造就气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞守则则使人善于争论.”物理学家伦琴说过：“第一是数学，第二是数学，第三是数学.”爱因斯坦说过：“数学之所以比一切其他学科受到尊重，一个理由是因为它的命题是绝对可靠和无可争辩的，而其他的科学经常处于被发现的事实推翻的危险.”数学，在任何时期都是自然科学的基础.数学几乎渗透任何一门学科，是物理学，天文学等重要科学的必要准备.在经济腾飞，科技发展迅猛的当今社会，认真学好数学不仅能培养我们对事物的正确判断能力，还可以分析和解决现实生产生活中遇到的问题.数学从古至今，产生的作用都是不可估量的.

当下，人工智能和大数据空前发展，而人工智能和大数据的发展依赖于数学的计算能力、抽象能力和计算机语言的编写能力.这就让数学的教与学得到了前所未有的重视，学好数学和计算机在人生的道路当中会多上许多的可能.大学数学的教学主要集中在《高等数学》《线性代数》《概率与数理统计》这三大基础数学课程.高等数学更是大学数学基础中的基础，学好《高等数学》，不仅仅可以为后续学习《概率与数理统计》打下坚实的基础，还可以为很多工科的专业课做良好的铺垫.一些学术型的高校，甚至在全校开设高等数学课程，包括了看似与数学毫无关系的中文系和外文系.《高等数学》除了研究一元函数和多元函数的微积分之外，也研究空间几何向量问题、级数问题.高等数学中研究的空间解析几何部分是数学史上一个划时代的成就，它开创了人们用代数方法研究几何问题的新时代，其中数形结合方法是后续许多课程，比如多元函数微积分的重要基础.

在空间直角坐标系下，点、直线、平面是最基本的也是最重要的点的轨迹.点、空间直线和空间平面之间存在很多看似简单的问题，比如点到直线的距离、直线与直线的共面问题、直线与直线的夹角问题、点到平面的距离问题、异面直线的距离问题、直线和平面的夹角问题、平面与平面的夹角问题等，大部分问题都能推导出简单的计算公式，但是点到直线的距离问题看似简单，却不能根据点的坐标和直线的方程，直接给出一个比较简洁的公式，但这并不表示这个问题是难以解决的，相反地，解决这个问题的方法多种多样.也正是这种非公式化处理问题的方式，为学生学习空间解析几何提供了很多动力.在这篇文章里，我们将用多种不同的方法来求解空间直角坐标系下点到直线的距离问题，并以此来介绍空间直角坐标系下直线和平面的一些问题在解决时候常用到的一些方法：比如解平面束方程的方法，直线的参数方程，两平面垂直当且仅当其法向量垂直等等.为了描述与理解方便，我们这里给出具体点的坐标和直线的方程.

四种解法之间各有优劣，所使用的方法也各有侧重.从过程的复杂程度来看，解法一和解法二较为简洁，解法三过程较为烦琐，解法四过程的复杂程度居中.从知识结构来看，解法一突出平行四边形的面积等于相邻两边所对应的向量的叉积的模;解法二突出点落在直线上时，点的坐标可以用直线的参数方程明确地表示出来;解法三是把点到直线的距离转化为点到面的距离问题，利用点到平面的距离公式求解，而且解法三当中用到的过定直线的平面束的方程，在直线与平面的关系当中是非常重要的;解法四突出把点到线的垂足转化为点到面的垂足.通过研究同一问题的不同解法，可以掌握相关问题的不同理论及其应用，这点在空间平面和空间直线的问题上尤为突出.

【参考文献】

[1]刘顺琴.空间解析几何中关于平面对称的若干问题[J].数学教学与研究 2019（14）：112-113.

[2]柳金凤.浅析高中数学平面解析几何的教学现状及对策[J].数学学习与研究2019（14）：32.

[3]王守中，江蓉.判断空间中若干几何图形位置关系的教学设计[J].西南师范大学学报（自然科学版），2018（08）：154-159.

[4]安芹力.用矩阵的秩判断两空间直线及直线与平面的位置关系[J].高等数学研究，2005（03）：54-55，57.

[5]赵玉，易磊.空间几何对象相对位置的新安全判定方法[J].计算机技术与房展，2011（05）：103-106，110.

[6]江蓉，周敏.素质教育背景下提高大学数学课堂教学质量的若干方法[J].西南师范大学学报（自然科学版），2015（04）：176-180.

[7]江蓉，王守中.矩阵的秩在线性代数中的应用及其教学方法的探讨[J].西南师范大学学报（自然科学版），2012（08）：175-180.

[8]李红婷.高师“数学教学论”课程建设的反思与重构[J].西南师范大学学报（自然科学版），2010（06）：196-200.

[9]单而芳，叶婷婷.几类积图的团染色数[J].运筹学学报，2013（04）：103-108.

[10]袁晶.“双创”背景下高等数学教学改革与创新研究[J].才智，2020（03）：69.

[11]杨朝丽，沙明娥，付学德.应用型本科高等数学教学改革的研究[J].昆明大学学报 2007（04）：79-81，87.

[12]姚翔飞.工科高等数学分级教学模式的探索[J].高教论坛，2008（03）：85-87.