基于代数方法的全维故障检测观测器设计

王 辉, 韩 冬, 李 娟, 魏 玲

(1. 北京信息科技大学 自动化学院, 北京 100092; 2. 韩山师范学院 物理与电子工程学院， 广东 潮州 521041； 3. 清华大学 电机工程与应用电子技术系, 北京 100084)

在针对动态系统的故障检测与分离中,基于观测器生成残差的方法得到了广泛的应用[1-6].在实际应用中,若使用观测器进行故障检测,观测器必须对未知干扰鲁棒,同时对故障敏感.为了使故障检测观测器对未知干扰具有鲁棒性,文献[1-6]中所提出的故障检测观测器,其存在与否取决于2个条件,一是系统的不变零点必须位于复平面的左半开平面(即系统为非最小相位系统),二是满足输出矩阵和未知干扰矩阵之间的秩条件.

为了放宽这2个条件的约束,控制界学者做了不懈地努力和探索[7-11].针对秩条件不满足的线性系统,文献[7-9]构建辅助输出,用辅助输出代替实际输出,使得秩条件得以满足;文献[10]则引入代数建模技术,将不匹配未知干扰部分表述为动态系统的响应,使得秩条件得以满足;针对既非最小相位又不满足秩条件的线性系统,文献[11]给出了一种滑模观测器的设计方法,使得最小相位条件可以放宽为系统的可测性,同时将秩条件放宽:当输出的维数少于故障的维数时,该滑模观测器设计方法依然可用.

针对不满足秩条件的系统,受到文献[10]的启发,文中给出一种基于代数建模的全维故障检测观测器的设计方法.首先,将未知干扰分解为匹配未知干扰和不匹配未知干扰,并将不匹配未知干扰部分代数建模为动态系统的响应,从而构建一个含有不匹配未知干扰系统和部分原系统的增广系统;然后,设计全维故障检测观测器,对匹配未知干扰是解耦的.一旦执行器发生故障,通过分析残差,就可以检测到故障.最后,针对一类垂直起降直升机系统,设计了全维故障检测观测器,当垂直起降直升机系统在受到未知干扰影响并发生故障的情况下,可以及时、准确地发现并分离故障.

1 系统描述和背景知识

1.1 系统描述

文中考虑以下线性时不变系统:

(1)

式中:x∈Rn为系统状态;y∈Rp为输出;u∈Rm为可控输入;f∈Rq为执行器故障;d∈Rq为未知干扰;A∈Rn×n,R∈Rn×q,D∈Rn×q，B∈Rn×m,C∈Rp×n为常矩阵,且rank(D)=q,rank(C)=p,q≤p≤n.

1.2 已有的全维观测器

对系统(1),使用文献[1]中的方法设计全维故障检测观测器如下:

(2)

式中的参数F,T,K和H必须满足:

(3)

式中In为n阶单位矩阵.

引理1关系式(3)成立的充要条件[1]如下: ① rank(D)=rank(CD); ② (C,A1)可测,且A1=A-D[(CD)TCD]-1(CD)T(CA).

若引理1中的条件①成立,则称系统(1)满足秩条件.对于系统(1)来说,当rank(D)≠rank(CD)时,由引理1可知,无法设计出诸如式(2)这样的全维故障检测观测器.文献[10]通过对部分未知干扰进行代数建模,解决了秩条件的问题,设计了降维故障检测观测器.相比于文献[10]中所设计的降维故障检测观测器,全维故障检测观测器有着设计自由度大、收敛速度快等优点,所以笔者希望当系统(1)在不满足秩条件的情况下,基于对部分未知干扰代数建模的方法也可设计出全维故障检测观测器.

1.3 不匹配未知干扰d2建模

(4)

接下来给出如下假设.

假设1不匹配未知干扰d2可以表述为特定动态系统的响应.

在实际应用中,通过一定时间的积累,很容易了解和掌握一些未知干扰的特性,如判断未知干扰是否为阶跃信号、斜坡信号、正弦信号等.此时,可以使用文献[12]中所给出的未知输入建模方法对不匹配未知干扰d2进行建模.基于假设1,通过选择合适的δi阶动态系统,可认为不匹配未知干扰d2由该动态系统产生,有

(5)

式中:d2i为d2的第i个分量;N2i∈Rδi×δi;G2i∈R1×δi.通过选择合适的矩阵N2i和G2i,动态系统(5)可以表示各种类型的未知干扰,则不匹配未知干扰d2可以表述如下:

(6)

式中:

由系统方程(4)和未知干扰模型(6)可得

(7)

rank(Da)=rank(CaDa)=l1

(8)

成立,所以增广系统(7)满足秩条件.

2 全维观测器设计

对于增广系统(7),设计如下全维故障检测观测器:

(9)

由式(7)和(9)可得动态估计误差为

(10)

类似式(3),此处参数F,T,K和H必须满足:

(11)

式中In+δ为n+δ阶单位矩阵.

受到文献[1]中定理3.1和文献[11]中定理1的启发,文中给出以下定理.

定理1若系统(1)的不变零点是稳定的,则(Ca,Aa1)是可测的,其中Aa1=Aa-Da(CaDa)+×(CaAa),(CaDa)+=[(CaDa)TCaDa]-1(CaDa)T.

证明由文献[7]可知,当系统(1)的不变零点稳定时,有

(12)

因为

(13)

由式(12)-(13)可得

(14)

因为

(15)

且式(15)中的矩阵

是列满秩的,由式(14)-(15)可得

(16)

因为

(17)

考虑式(16)-(17),可得

(18)

由(18)可知(Ca,Aa1)是可检测的.

基于假设1,通过对不匹配未知干扰建模,使得增广系统(7)满足引理1的第1个条件;此外,若系统(1)的不变零点是稳定的,则(Ca,Aa1)是可测的,使得增广系统(7)满足引理1的第2个条件.由式(10)可知,当f=0时,状态估计误差ea和匹配未知干扰d1解耦,且渐近收敛到0;当f≠0且TRa≠0时,故障检测观测器(9)即可检测出系统(1)所发生的故障.

相比于文献[7-9]中利用复杂的LMI方法获取观测器参数矩阵,全维观测器(9)的参数矩阵可以方便快捷地计算出来,计算过程类似于文献[1].

3 仿 真

在本部分,采用一个经过线性化处理的垂直起降直升机系统模型[1],来验证文中所设计故障检测观测器的性能.垂直起降直升机系统在垂直平面上的动态特性如下:

其中：

对垂直起降直升机系统来说,在飞行过程中,当空气速度改变时,系统的动态方程也随之改变.通常,可以假定系统矩阵A发生如下参数摄动:

加性干扰项E,v可以表示如下:

考虑到识别执行器故障的需要,故障分布矩阵设为

为了分离2类可能的故障f1和f2,使用1组共2个故障检测观测器1和2来产生设计对不同故障敏感的2个残差:故障检测观测器1只对故障f1敏感,对故障f2和外部干扰鲁棒;故障检测观测器2只对故障f2敏感,对故障f1和外部干扰则具有鲁棒性.带有2个故障和干扰的系统如下:

对于故障检测观测器1和2来说,只希望检测出感兴趣的故障,均视不感兴趣的故障为未知干扰.因为rank(CR)=rank(R)=2,所以有rank(CR1)=rank(R1)=1,rank(CR2)=rank(R2)=1,f1和f2均可视为匹配未知干扰;因为CE=0,故v可视为不匹配未知干扰,通过对v代数建模,使得可以设计故障检测观测器(9).Rf和未知干扰Dd中的匹配项和不匹配项剥离如表1所示,其中d1和d2可分别对应匹配未知干扰f1/f2和不匹配未知干扰v.

表1 剥离Rf和Dd中的匹配项和不匹配项

对故障检测观测器1和2,根据先验知识可以假设不匹配未知干扰v是正弦信号.由文献[12]可知:

由文献[1]可计算出故障检测观测器1的参数矩阵如下:

同理，经过计算可以得出故障检测观测器2的参数矩阵如下:

图1 观测器1产生的残差

图2 观测器2产生的残差

4 结 论

针对一类伴有不匹配未知干扰的线性时不变系统,探讨了全维故障检测观测器的设计.首先,基于代数方法对不匹配未知干扰建模,可以得到一类满足秩条件的增广系统.然后,对增广系统设计全维故障检测观测器,使得残差对匹配未知干扰鲁棒,对故障敏感,并探讨了观测器存在的条件.最后,将文中所给出的方法应用于一类垂直起降直升机系统,并通过对系统模型进行仿真,验证了所提出全维故障检测观测器设计方法的有效性.