概率论在实际生活中的应用和拓展

陈睿涵

（西北工业大学启迪中学，陕西 西安710000）

1 概述

1.1 概率论的历史和发展

最初的概率论起源于赌博问题，在十五世纪，意大利的数学家塔塔利亚和帕乔利等人都讨论过两个人之间的赌金分配问题，概率论最早的著作是由荷兰数学家惠更斯撰写的《论赌博的计算》，而这本著作也是当时概率论方面的最高著作，这也标志着概率论的的诞生，而概率论学科中的真正奠基人便是伯努利家族的雅克布伯努利，他在著作《猜度术》中提出了以“伯努利定理”著称的极限定理，而这个定理在这之后的概率学发展中占据了重要的地位。而在伯努利之后，法国的数学家棣莫弗在之前的概率论基础上提出了正态分布，以及概率乘法等规则，之后拉普拉斯，高斯等人都对概率论做出了进一步地深入研究工作，而拉普拉斯在他的著作《概率的分析理论》中以很强的分析工具来对概率论问题进行处理[1]。正是在这部著作中，他给出了古典化模型的定义，事件发生的概率等于该事件可能出现的所有结果数和试验中可能的所有结果数之比。概率学再往后发展，便到了极限理论。俄国的数学家切比雪夫建立了关于独立随机变量的大数定律，而在这其中，泊松大数定律和伯努利定理变成了大数定律的特例。

1.2 随机事件和概率

在概率学和现实生活中，很多事情是不断发展并且相互联系的，并且在这相互联系的因果关系中，我们通过事件之间的因果关系可以将这些事件分为主要的两大类。分别是确定性事件和不确定性事件。其中的确定性事件又包括必然事件和不可能事件两种。如：太阳每天从东边升起，从西边落下，便是必然发生的事件，而公鸡下蛋便是不可能事件。这就说明这些事件之间的联系和结果是必然的。而对于不确定性事件，在一定的条件下的结果是不确定的。例如：明天下不下雨，或者说抛掷一枚硬币，观察其是否正面朝上，这都是在一定的条件下结果不确定的事件，我们在概率学中也称之为随机事件，这个现象我们也称之为随机现象。

概率：严格意义上指的是一个事件发生的可能性大小。如太阳从东边升起的可能性便是100%，而从东边落下的可能性便是0%。我们观察可以得出，所有必然事件的发生概率皆为100%，不可能事件发生的概率为0%，而对于其他类事件诸如随机事件。例如买东西买到次品，或者射击打靶能否命中，都是既有可能发生也有可能不发生，所以它们的发生概率介乎于0%和100%之间，所以对于日常生活中的任何事件。我们都可以用概率模型来对它进行定量分析。概率学中的不确定性确实是亟需解决的麻烦，但这也是多数情况下解决问题的主要甚至是唯一的途径。

2 概率在生活中的实际应用

本文通过研究概率及随机事件在体育、金融、博彩、风险控制等行业的应用来探究实际生活中概率学的用途和优势。

2.1 概率在体育中的应用

射箭比赛中采用的环靶的形状是圆形，并且从内到外是由分别等宽的同心环组成，构成十个等宽的环区，环的中心位置我们称之为环心，边缘位置称之为环边，因此在射箭比赛中，我们把环心到环边的十个环区分别记为十环、九环...一环，最终在比赛中击中哪一环便得到哪一环的分数，对于射箭比赛我们的直观理解为越靠近靶心击中越难，得分越高，接下来，我们从概率学角度来研究不同分数的难易程度，我们假设箭靶呈圆形并且每个环的宽度相同，并且宽度设为r，我们采用几何概型，其中十环的面积是πr^2 依此类托，从内往外，九环、八环....一环的面积依次为3πr^2、5πr^2....19πr^2。我们假设运动员在射箭途中不会脱靶，并且击中靶上任何一个部位都为随机的,所以由几何概型的定义我们可以得出，对于任何一个射箭运动员来说，射中十环的概率是0.01，射中九环的概率是0.03，以此类推，射中八环七环...一直到一环的概率分别是0.05、0.07...0.19，所以从概率的角度来看，射中一环的概率最高，射中十环的概率最低，所以越靠近靶心的位置越难射中，相应的分数也会越高。

2.2 概率在金融方面的应用

设某基金公司分别投资三只独立的股票，且投资这三只股票的概率分别是0.7，0.6 和0.4，求（1）其中任意两只股票至少有一只获利的概率。（2）投资三只股票至少有一只获利的概率。

解答：设P(A)，P(B),P(C)分别表示三只股票获利，并且A,B,C相互独立，其中P(A) =0.7,P(B) =0.6，P（C）=0.4，对于问题（1）则其中任意两只股票至少由一只获利的概率为：P=P (AB+AC+BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC)-2P(ABC)=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)+P(B)*P(C)-2P(A)*P(B)*P(C)=0.7*0.6+0.7*0.4+0.6*0.4-2*0.7*0.6*0.4=0.604。

对于问题(2),三只股票至少有一只获利的概率,P=P(A+B+C)=P (A)+P (B)+P (C)-P (AB)-P (AC)-P (BC)+P (ABC)=0.7+0.6+0.4-0.7*0.6-0.7*0.4-0.6*0.4+0.7*0.6*0.4 = 0.928。

或者从反面考虑，三只股票至少有一只股票获利的反面是没有一只获利，P=1-P（ABC)=1-0.3*0.4*0.6=0.928。

综合以上的计算结果，我们可以得出结论:投资于多个股票的获利的概率大于投资于单个的股票的获利概率，这也是常见的概率学投资方法。

2.3 概率在博彩方面的应用

我们采用对于国内最常见的福利彩票- 双色球玩法进行概率学分析，其中双色球两块钱一注，每注包括6 个红色号码球和1 个蓝色号码球，其中红色号码球的范围实在1-33[2,3]，蓝色号码球的范围是在1-16，而对于双色球的奖金设置，彩票公司将奖金设置为彩票销售额的50%，并且对于每注获得的奖项进行分级，分别包括一等奖，二等奖一直到六等奖，而其中一等奖，二等奖属于高等奖项，其余的属于低等奖，高等奖的奖金采用浮动制，而低等奖的奖金采用固定制，当期高等奖金的金额等于当期的奖金（销售额*50%）减去当期低等降级你的金额，而具体的中奖规则和奖金分布可以被详细的描述为:

a.一等奖：中奖规则是抽中6 个红色球和1 个蓝色球，奖金大约为当期高等奖金的70%。

对应的概率为：

b.二等奖：中奖规则是抽中6 个红色球，奖金大约是当期高等奖金的30%。

对应的中奖概率为

c.三等奖：中奖规则是抽中5 个红色球和1 个蓝色球，奖金为每一注3000 元。

对应的中奖概率为

d.四等奖，中奖规则是抽中5 个红色球或者是4 个红色球和1 个蓝色球，奖金为每一注200 元。

对应的中奖概率为

e.五等奖：中奖规则是抽中4 个红色球或者是3 个红色球和1 个蓝色球，奖金为每一注10 元。

对应的中奖概率

f.六等奖：中奖规则是抽中1 个蓝色球（可以抽中2 个，1 个或者没有抽中红色球），对应的中奖概率。

而对应的不中奖概率为

对于上述问题，我们采用古典概型来计算不同奖项出现的概率，因为每一种奖项出现的结果都是有限个，并且每一个结果发生的可能性都是相同。

2.4 概率论在风险规避中的运用

对于在金融市场中的投资者来说，首先要考虑的目标并不是目标资产的盈利能力，而是如何才能够合理地多样化控制风险，因此规避风险是现代投资组合理论的核心内容，而概率论在资产组合理论中也起到了重要的作用[4]，我们从一个出售太阳镜和雨伞的商家来考虑如何能够合理地降低在售卖商品中可能出现的风险，我们不妨假设商家售卖的雨伞和太阳镜的价格每件都是20 元，那么如果未来的天气是晴天，则太阳镜的价格便会大幅上升，因此太阳镜的价格也会上涨到40 元每副，而雨伞的价格便会下跌到10 元每把，而如果未来的天气是雨天，那么和晴天相反，雨伞的价格便会上涨到40 元，而太阳镜的价格便会下跌到10 元，如果假设未来的天气出现晴天和雨天的概率分别都是50%，那么对于该商家，在囤货的过程中，便有着很多的选择，他可以选择只囤太阳镜，或者只囤雨伞或者采用雨伞和太阳镜各囤一半等方式，那么我们接下来计算不同方式下这个商家的获利数目和风险大小。

a.假设该商家的初始启动资金为400 元，如果全部屯雨伞，那么该商家未来可以购买20 把雨伞，如果未来是晴天，那么销售额为20*10=200 元，如果未来是雨天，则销售额为20*40=800，那么出现盈利400 元（800-400=400），而因为出现雨天和晴天的概率一样，所以综合该商家的综合盈利数目为0.5*400+0.5*（-200)=100 元。

b.同样如果全部囤太阳镜，那么就可以购买20 幅太阳镜，那么如果未来是晴天，则销售额是20*40 = 800 元，则会出现盈利400 元（800-400 = 400），如果未来是雨天，则销售额是20*10 =200 元，则出现亏损200（200-400=-200）元。而因为出现晴天和雨天的概率一样，所以综合该商家的综合盈利数目也为0.5*400+0.5*-200 = 100 元。

c.如果一半囤太阳镜，一半囤雨伞，那么就可以购买10 幅太阳镜和10 把雨伞，那么如果未来是晴天，那么太阳镜的售价会上升到40 元，雨伞的价格便会下降到10 元，那么最终销售额是10*40+10*10 = 500 元，则会出现盈利100 元（500-400=100），而如果未来是雨天，那么太阳镜的售价会下降到10 元，而雨伞的价格会上升到40 元，那么最终的销售额也会是10*10+10*40= 500 元，也会出现盈利100 元，所以最终不管在哪一种天气情况下，该商家的最终盈利都会是100 元。

可以看出，三种投资模式下最终的获利数目都是一样，但是对于前两种模式，投资者行为更加极端，更加受天气的影响，比如对于囤雨伞，一旦出现晴天，便会出现亏损，可以看出这对商家的持续经营十分不利，所以商家需要进行多元的投资来控制风险，提高确定性。提高持续的盈利能力。而对于风险厌恶者来说，多元化的投资可以适当的降低风险并相应的提高确定性来提高投资者的效用。风险和收益控制也是金融市场上投资者需要面临的核心问题。

2.5 概率论在决策分析中的应用

在很多的现实情况中，决策者需要就当前或者未来即将发生的问题来从若干个解决方案中选择一个或者多个最佳的方案。所以决策者需要就发生的问题来进行比较科学的分析，选择最优策略，并且尽量避免损失。而很显然概率论可以帮助决策者显著提高决策胜率和决策水平。我们选择保险公司的投保问题来看概率论在决策分析中的运用。对于保险公司而言，公司一方面既要照顾到保险受益人的经济利益，但是同时，公司作为一个整体也要考虑公司的盈利能力。

比如说某一个单位发生万元以上损失事故的概率是p=1/100, 并且保险公司可以针对此项事故开办一种一年期的保险，开办此保险需要投保人缴纳保险费用100 元，但是如果在一年内该单位出险，那么便可以从保险公司获得赔偿a(a＞100)元，我们为了使得保险公司基于盈利目的而要求该保险公司的预期收益不低于赔偿金额的5%，那么请问在我们这只产品中，投保人能够获得的最大赔偿金应该是多少?

我们可以用x 表示保险公司的收益，那么x=100 或者x=100-a

所以最终保险公司获得收益的期望是0.99*100+0.01*（100-a）

所以最大赔偿金额1666 元

我们选取另一个实例，也就是承包工程的决策，假设某一个工程队需要去承包一项工程，如果能够在三天内完成，那么就可以获得利润8000 元，如果在四天内能够完成，那么也会相应获利5000 元，但是如果五天完成，那么便会被罚款10000 元，而根据工程队的过往项目经验，工程队三天，四天和五天完成此项工程的概率分别为0.3，0.4，0.3，那么请以此判断，该工程队是否适合承包该工程。

假设该工程队获得的利润为X 元

则P(X = 8000) = 0.3，P(X = 5000) =0.4，P(x = -10000) =0.3

所以最后获得利润的数学期望是

所以最终该工程队获得的平均利润是1400 元＞0，所以我们认为该工程队适合承包该工程。

3 结论

20 世纪以来，由于各种理论课题和实践过程的扩大深入，概率论已经被引入到多种工程和社会科学中，而目前来看概率论在经济，金融统计和管理等领域已经成为了很有效的工具和方法。现在概率论已经发展成了一门比较完整并且和实际联系较为紧密的学科，由于其独特的数学概念和方法，也逐渐成为了数学里面一个很重要的分支。本文主要研究的是概率的基本定义和在实际生活中的主要应用等问题。我们研究的主要应用场景具体可以分为体育，金融，博彩，风险规避，决策分析等领域。而我们在这些领域所用到的概率论模型和算法主要包括随机事件，条件概率，全概率公式，贝叶斯公式等。我们在研究这些生活中的具体问题时，希望能够通概率达到认清问题本质的目的，这样便可以让我们在处理更多复杂、庞大的问题时做到更加的简洁有效。并且我们也希望通过概率能够对事情做出合理的预测，并采用相应的方法来合理的规避风险。总之，在现实生活中，存在很多的随机事件，我们相信概率论在以后的生活中一定能够发挥更巨大的作用。