一个不等式猜想的深入探讨

湖南省绥宁县瓦屋唐镇瓦屋梅坪小学

从启发式教学模式角度，对一个熟知的数学命题，引导学生做出大胆“类比、猜想”，并启发学生分析证明思路，进行论证，无疑是值得赞扬的教研探讨模式之一.许多数学教师在教学及教学研究中提出这种“类比、猜想”，使用“大胆猜想、细心求证”方法以锻炼和提高学生创新思维能力.文献[1-5]对2009年《数学通报》第十期问题1818 进行了研究.针对问题1818，施刚良老师等[1]提出如下类比猜想.

猜 想1[1]设i ＞0,i=1,2,··· ,n,n ∈ℕ,n ≥则

猜想2[1]设k,n ∈N,ai ＞0,i=1,2,··· ,n,n ≥3,k ≥2.则

这时猜想2中的不等式转化为，

近年来，作者未见有关文献报道解决这两个猜想.本文的目的是证明在一些情况这个猜想成立，而在另一些情况猜想不成立.

注记1由于(2)是(1)的推广，因此猜想2是猜想1的推广.

注记2当n=3时，文[1],[2],[4]已经证明(2)成立，文[3]给出证明了.当n=3时(2)的一个推广形式.我们注意到当n ≥4,k=2时，(2)不成立，所以n ≥4,k ≥2时猜想2 不成立.事实上，当mi=t ＞且t →+∞时，我们有

故当mi ＞0(i=1,2,··· ,n-1)很大，而mn ＞0 很小时就有

故(2)当n ≥4,k=2时不成立.例如取n=4,m1=m2=m3=10,m4=0.001，我们有m1m2m3m4=1 但是

类似地，当k ≥1,n ＞k+1时，我们有

因此当n ≥k+2,k ≥1时(2)不成立，所以此时猜想2也不成立.

定理1设n,k为整数，n ≥k+2,k ≥2,mi ＞0,i=则

等号成立当且仅当m1→0,mi →+∞,i=2,··· ,n.

证明容易知道有下确界α.所以对任意

于是对任意t ＞1 有从而

取t →+∞则立得α ≤1.

当n ≥k+2时，我们考虑

其中被减数中有n(k+1)n-1项，合并同类项后常数项是n，其他项为

共计

其中减数中有(k+1)n项，合并同类项后常数项为1，其他项为

推出(3) 成立.容易看到(3)中等号成立当且仅当m1→0,mi →+∞,i=2,...,n定理证明完毕.

定理2设n,k为整数，2≥n ≥k+1,2≥k,mi ＞则

证明容易知道有下确界α.所以对任意

取t →0 则立得

当2≤n ≤k+1时，我们考虑

其中被减数中有n(k+1)n项，合并同类项后常数项是n(k+1)，其他项为项.

这样，被减数减去减数为

推出(4)成立.容易看到(4)中等号成立当且仅当xi=1,i=1,2,···,n.定理证明完毕.

定理3设x,y ＞0,xy=1,k ≥1.则

证明作辅助函数

容易计算当x ∈(0,1)时，有

定理4设n ≤2,k ≤1为整数，xi ＞0,i=则

证明由于

只需证明

容易推出

而后者显然成立.又

所以(6)中等号成立当且仅当xi →0,i=1,2,··· ,n -1,xn →+∞.定理证明完毕.

定理5设n,k为整数，2≤n ≤k+1,k ≥2,ai ＞0,i=1,2,··· ,n.则

证明取则于是(7)等价于

由定理1，定理2和定理4 结论得本定理不等式.定理证明完毕.