单叶函数若干子类的Hankel行列式H2(3)

王东荣，龙波涌，黄华鹰①

（安徽大学 数学科学学院，安徽 合肥230601）

0 引言

记C为复数集，N为自然数集，D={z∈C:|z|＜1} 为单位圆盘. 记A为在单位圆盘D内解析，且满足正规化条件f(0)=f′(0)-1=0 的函数f(z)的全体. 则A中的函数有展开式

记S为A中单叶函数的全体. 分别记α阶星象函数、α阶凸函数以及导数的实部大于α的函数类为S*(α)、K(α)和R(α)，则当函数f,g,h∈S且α∈[ )

0,1 时，有

显然，S*(0)=S、K(0)=K和R(0)=R分别是星象函数类、凸函数类以及导数具有正实部的函数类. 当α取特殊值时，对于所得到的函数类的研究也很有价值. 例如，令，则有，而函数类在解决一些微分方程问题中会常常碰到［2］.

当f∈A时，Pommerenke［3-4］定义了函数f(z)的q阶Hankel行列式为

其中n,q∈N. 之后，Hankel行列式引起了数学工作者的极大兴趣.

当q=2，n=1 时，H2( )1 就是经典的Fekete-Szegö 泛函［5］，早在1930 年就有人研究. 然而若将q或n的值取得更大，则对于Hankel 行列式的研究就会困难很多. 文献［6］首先研究函数类S*、K和R对应|H3(1 ) |的上界，后来有很多人研究H3(1 ) ，参见文献［7-10］.

Janteng等［11-12］得到函数类S*、K以及R对应 |H2( 2 )|的最佳估计. Lee等［13］研究关于一个给定函数φ的Ma-Minda 星象函数类S*(φ)的二阶Hankel 行列式，并得到β阶的强星象函数类S*β的 |H2( 2 )|≤β2，α阶星象函数类S*(α)的 |H2( 2 )|≤(1-α)2. 其他一些函数类二阶Hankel行列式的研究见文献［14-17］.

由式（2）有本文研究S*(α)、K(α)以及R(α)对应的二阶Hankel 行列式H2( )3 ，分别估计其对应 ||H2( )3 的上界.R(α)对应的 ||H2( )3 的上界是最佳的. 当系数a2=0 时，得到S*(α)和K(α)对应 ||H2( )3 的最佳上界.

1 预备知识

记P是由在D内解析且Re(p(z))＞0，p(0)=1的全体函数. 若p∈P，则p有展开式

引理1［18］若p∈P，则p(z)展开式的系数有最佳不等式 |pn|≤2，其中n=1,2,….

引理2［19］若p∈P，则有最佳不等式 |pn-μpk pn-k|≤2，其中：μ∈[0,1] ；n,k=1,2,…；n ＞k.

引理3［20］若p∈P，则有，等式成立当且仅当以及它们的旋转.

注1 由文献［20］的证明过程可知，引理3 不等式中等号成立，当且仅当p2=0 或者 ||p2=2. 当

对于任意的f∈S*(α) ，有等式

其中：p∈P，α∈[ )

0,1 .

若f(z)与p(z)分别有表达式（1）与（4）且分别属于S*(α)和P，运用式（5）可以得到

则有

若f∈S*( )

α，则由式（3）与（6）有其中

众所周知，f∈K当且仅当zf′(z)∈S*. 如果，则

2 主要结果

定理1 设，则

证明令，根据式（7）有

因为α∈( 0,1) ，从而1-α∈( 0,1) . 则由引理1～3有

如果f∈K(α)，则根据式（9）有

由引理1～3可得

从而定理得证.

推论1 若，则；若，则

定理2 设α∈[ 0,1) ，f有展开式（1），且a2=0.

（1）若f∈S*(α)，则

以上2个不等式均是最佳的.

证明因a2=0，则根据式（6）中第1个等式，可得p1=0. 若f∈S*( )α，则由式（7）可得

从而根据引理1和引理3有

若f∈K(α)，根据式（9）可得

由引理1和引理3可得

下面考虑定理2中的极值函数. 当f∈S*(α) ，综合引理1、3及式（11）知，式（12）中不等式等号成立当且仅当以及根据注1有，因此，若f∈S*(α)，则极值函数

推论2 设f有展开式（1），且a2=0，

推论2中（1）和（2）的第2个结果在文献［20］中证明得到，显然结果是最佳的.

定理3 若f∈R(α)，且，等号成立当且仅当

证明当时，根据式（10）有

由引理1和引理3可得

等号成立当且仅当 ||p2=||p4=2 以及，故根据引理3和注1可知从而可得极值函数

推论3 若f∈R，则；若

推论3当中的第1个结果在文献［20］中得到证明，结果是最佳的.