寻求规律推理论证梳理关系

◇昝 雪

【作者单位：徐州市铜山区茅村镇任庄小学 江苏】

四年级下学期，我带领学生们延伸了鸡兔同笼的问题。总体来说，也就是“笼子里有若干只鸡和兔子。从上面数有35个头，从下面数有94只脚。问鸡和兔子各有几只？”的问题。鸡兔同笼问题并没有作为我们教材单独的一章或小节来学习，但这部分内容对于学生分析和解决问题有很大的帮助。经过总结和思考，我发现解决鸡兔同笼问题的重点在于向学生渗透置换的思想。接下来我会以具体的三种解决方案为例来说明这一点。

一、抬腿法，寻求规律

根据题中已知条件，我们可以知道鸡和兔子的总数以及它们加起来脚的数量。但学生根据这两个条件很难找到其中的关系，从而进行分辨。因此，如果我们让鸡和兔子分别抬起来一半的腿，脚的数量与头的数量就有了比较紧密的联系，学生也能很快找出它们之间的关系。

首先进行分析：一只鸡有1个头、2只脚，一只兔子有1个头、4只脚，现在已知鸡和兔子的总数以及脚的数量，但想要找出其中的关系还是比较困难的。这时候，我们就需要让鸡和兔子“金鸡独立”，将一半的腿抬起，那样它们脚的数量就都成为原来的一半。到目前为止，相当于一共有35 个头和47 只在地上的脚。经过分析我们可以得出：抬腿之后，一只鸡有1个头、1只脚，一只兔子有1个头、2只脚，那么鸡的头和脚的数量是一样的，而每只兔子的脚比头的数量多1。也就是说，脚比头多出来的12就都是兔子的数量。那么最终我们得出了笼子里面有23只鸡、12只兔子的结果。最后进行验证，发现结果是正确的。这个思路是很明确的，但如果每次都这样进行分析会很烦琐。因此，我们可以将刚刚的步骤进行总体分析，总结出公式：兔子的只数=总腿数÷ 2-总只数。学生只要理解后进行公式的记忆，就能够熟练应用了。

在这个过程中，我们相当于将抬腿后鸡和兔子脚的数量以及头的数量进行置换，从而找出其中的关系。只要学生深刻理解了这个方法的原理和计算，并记住公式，就一定能够掌握。

二、假设法，推理论证

应用抬腿法，我们是通过缩减脚的数量，找出其中头和脚紧密的联系并进行置换，发现了其中的规律。那同样的，鸡和兔子不同的地方在于脚的数量。通过假设法，我们照样能进行推理和论证，找出结果。

在这堂课上，为了让学生深刻地理解，我首先将35只动物全部假设成兔子的情况向学生做了解释：首先，我们假设35只全部是兔子，那么应该一共有35× 4=140只脚，但实际上，只有94只脚，说明其中有一些“兔子”其实是鸡；接下来，我们就要具体得出鸡的数量，一只鸡比一只兔子少2只脚，那么现在的情况是少了140- 94=46 只脚，说明其中有46÷ 2=23只鸡；那么最终结果为笼子里一共有23只鸡和12只兔子。这个结果与用“抬腿法”求得的结果一致，验证成功。接下来，我让大家详述将35只动物全部假设成鸡的情况：首先，假设35只全部是鸡，那么应该一共有35× 2=70只脚；但实际上，一共有94只脚，说明其中有一些“鸡”其实是兔子；接下来，我们就要具体得出兔子的数量，一只兔子比一只鸡多2 只脚，那么现在的情况是多了94-70=24只脚，说明其中有24÷ 2=12只兔子；那么最终结果为笼子里一共有12 只兔子和23只鸡。这与先前得出的结果一致。

假设法是通过将鸡和兔子的脚进行置换，进而通过逻辑推理得出结果。这对学生的论证和分析能力有很高的要求。因此，教师一定要让学生多多练习，自行把握其中规律的和方法。

三、方程法，梳理关系

最后一个求解鸡兔同笼问题的基本方法是方程法。作为解题的工具，方程的逻辑是最清晰的。但这并不意味着方程法是最简单的。同样的，用方程法解题依然需要学生梳理题中的关系，才能得出正确结论。

要梳理关系，首先就需要了解已知条件和求解内容，才能从中找出联系和转换的方法。在鸡兔同笼问题中，我们知道的是鸡和兔子加起来头和脚的数量，求解的是鸡和兔子分别的数量。那么，首先设鸡的数量为x只，根据头的总数可得出兔子的数量为（35- x）。接下来，我们找出的关系应该是：鸡的脚+兔子的脚=脚的总数量。鸡的脚为2x只，兔子的脚为4（35- x）只，那么方程式则为2x+4（35-x）=94。解之得，x=23，那么35-x=12，即鸡有23只，兔子有12只，结果正确。接下来，为了锻炼学生的思维能力和动手能力，我让大家自行寻找关系式并求解。有的学生将兔子的数量设为x，找的关系式不变，属于换汤不换药的情况。但有一些同学的视角就比较独特了：设鸡有x只脚，那么兔子一共有（94-x）只脚；接下来，我们要利用鸡和兔子的总数，找出关系式“鸡的数量+兔子的数量=总数量”进行列方程，解之得x=46，那么鸡的数量为46÷ 2=23只，兔子的数量为12只，结果同样正确。

方程法就比较明显了，是通过将题中已知条件置换为方程未知数的过程来实现的。相较于前两种方法来说，方程法的中间转化过程较少，主要通过寻找题中已知关系式并列方程来求解。

显然，鸡兔同笼问题存在的意义并不仅仅在于问题本身，更多的在于其中蕴含的数学思想。通过对方法的思考和研究，学生解决问题和分析问题的能力也会有所提升。希望大家可以知难而进，从中找到更多的乐趣。