课程标准下数学建模素养的培育基础

洪思澜

【摘要】新课标的实施明确将数学建模列为数学学科核心素养之一.文章从教师的教学角度出发，着重强调在教育改革的过程中，如何通过章节引言的导入、知识推演情景的设计和数学语言的培养等教学方式，带领学生养成优秀的数学思维品质，从而为培育学生的建模素养奠定良好的基础.同时以“用一次函数解决问题”为例，分析如何在教学中培育学生的数学建模素养.

【关键词】课程标准;数学建模;教学方式

【基金项目】受到“省级大学生创新创业训练计划”项目资助（201910332055Y）

一 、提出问题

南宁市曾对示范和非示范性中学的初三学生进行了调研，调查结果显示：大多数学生宁愿用常规却烦琐的方法进行解题，也不愿意花费精力思考其他更简单快速的解题方式.[1]在中学的课堂教学中，由于教学课时的限制，教师常常会直接给出公式、定理或是命题，稍加解释，就直接通过题型训练“强迫”学生掌握所学知识，继而达到考试会做的目的.这种知识堆积式的教学方式严重忽略了学生数学思维的培养，思维固化、数学语言形式单一等一系列的教育结果，都会对中学生建模素养的培育造成巨大的阻力，而形成这一现状的背后，有学生自身的原因，但也不乏教师教学方式的影响.

数学知识的纯粹堆砌、数学思维的固化和数学语言的匮乏，这些都是横在建模素养培育路上的大石头，若不“搬走”，再完善的培养计划也无法发挥最佳效果.因此，本文结合课程标准，以教学过程的实际环节为出发点，思考如何从教师教学方式着手，为学生建模素养的培育扫除障碍.

二、课程标准中对培育数学建模素养的阐述

《义务教育数学课程标准（2011年版）》和《普通高中数学课程标准（2017年版）》都明确提到了培育学生模型素养的相关内容.《普通高中数学课程標准（2017年版）》中指出，数学建模的过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题.[2]如在车辆限行、DVD在线租赁等实际生活场景中，研究污染影响、最佳租赁方案等问题，可运用函数、数列、不等式、排列组合等知识构建合理模型，再根据具体数据进行求解、检验，最终解决问题.对于仍有余力的学生，鼓励其在教师的指导下，推广得到更一般化的模型.这就要求学生拥有良好的符号意识、应用意识和抽象能力，能客观细致地分析问题，学会运用数学语言表示场景中的数量关系和变化规律，并善于借助工具进行计算和检验，从而达到训练思维、解决问题的目的.

在义务教育阶段，课程标准仅要求学生初步形成模型思想，提高数学学习兴趣和应用意识.[3]如在鞋码和长度的问题中，懂得套用一次函数模型解决问题;在小麦收割机租赁方案问题中，懂得套用不等式模型，并根据考虑因素的不同给出多种租赁策略.总之，在多样化问题情境的引导下，培养学生的数学兴趣.而在普通高中教育阶段，课程标准提出了更进一步的培养要求：希望学生有意识地去观察和体会生活中所蕴含的数学，深刻感悟现实世界与数学学科的紧密联系[2]，如概率论作为数学学科的一大分支，最初就是源于赌徒分金问题.标准中还鼓励学生多参与数学建模的相关活动，培养熟练运用数学模型解决问题的能力，积累数学实践的相关经验，同时，了解数学模型在科学、社会、工程技术等诸多领域的作用[2]，如运用MATLAB的动态系统模拟ASM3模型进行污水处理的仿真演示等，从而进一步培养学生的科学精神和实践意识.

总的来说，数学模型搭建了数学学科与外部世界联系的桥梁，让学生能够更加明确地感受到数学是来源于生活，更应用于生活.

三、教学方式的几点建议

（一）开展有趣的章前课程，丰富学生对知识的记忆

歌德曾说：“哪里没有兴趣，哪里就没有记忆.”当学生真正对数学产生兴趣时，他才会用心去记忆其中的知识，日积月累，就会拥有牢固的知识基础，而清晰的数学知识正是走进建模殿堂的敲门砖.因此，培养学生建模素养的前提，一定是先培养学生对于知识的接纳.而章前课程的教学恰能有效地激起学生的学习兴趣，加固学生对知识的记忆.且不谈中学生，即使是大学生，倘若教师能很好地利用章前课程开展教学，那么在提起微积分时，学生想到的将不仅仅是等价无穷小、迫敛准则……他们还会想起牛顿-莱布尼兹之争，这样，学生对于数学的记忆就不再是冰冷的公式符号，而是无数的数学故事中诞生的数学元素.

以数学前辈们的故事为主线的章前课，既激发了学生对新章节知识的向往，又丰富了数学课的内涵.当然，章前课的形式并不唯一，除了向学生讲述前辈们的探索历程，也可以通过关联性知识向学生展示包含了新旧知识的层次联系.如在“有理数”新授课之前，先向学生展示完整的数域层次，从小学的自然数到初中即将学习的有理数、实数，再进一步扩展到高中要学习的复数域，并向学生解释有理数逐渐产生的过程及其名称的由来.这样，既能将小学、初中和高中的知识有效地衔接起来，也能一定程度上消除学生对于新知识的陌生感和抗拒感.或者是，教师在新授课之前安排一次活动探究课，引导学生在情境的探索中体会新知识在现实生活中的刻画，也能让学生积累更多数学实践的经验.

总之，章前课的形式多种多样，有效的章前引入，既能激发学生对新知识的向往，提高学习兴趣，更能丰富和加固学生对知识的记忆，也为学生建模素养的培育奠定了坚实的知识基础.

（二）设计合理的推演情景，培养灵活的数学思维

灵活的数学思维是学生建模解题过程中的强心剂，教师在教授公式、定理时，添设符合学生认知水平的推演过程能很好地提升学生思维的灵活度.曾经在一节数学分析课上，教师花费一节半课的时间，用了四块黑板，只证明了一个“隐函数存在定理”.当时我完全不理解这种教学行为，是因为我忽略了：证明定理的过程就是我们作为学生参与知识获取的过程，相比于直接主观地接受某一个定理或是命题，这样获取知识的过程更为主动，也更能培养学生的思维.

当然，以上所提到的教学行为只是培养数学思维的途径之一.在中学教学阶段，由于学生的知识储备有限，大多数的定理无法给出严谨的证明，因此，合情推理在中学教学中更为常用.这时，就需要教师在新课教学之前，设计合理的教学情境和提问，引导学生自主探索推导方式，学会从多个特殊的例子中推演出一般的结论或是通过相关概念的类比、联想推导出公式或定理.比如，在讲授“球的体积公式”这节课时，由于课本上的推导过程多且复杂，如果直接按照书本上的内容进行教学，不但浪费时间，还不会取得很好的效果.不妨运用类比、联想的方法引导学生进行公式推导：把西瓜看成一个球体，若把它平均切成16块，则每块西瓜以整个西瓜的中心为顶点，瓜皮为底面，可以看成一个棱锥，那么整个西瓜就可以被当成一个广义的锥体，运用V_锥=（1/3）SR和S_球=4πR²两个公式就能直接推导出球的体积公式V_球=（4/3）πR³[4].将整个西瓜近似看作球体，切好的每块西瓜看作棱锥，这样就巧妙地利用学生熟悉的几何模型和计算公式推导出了新的体积公式.这样的推导过程简捷有趣，既便于学生接受，提高其数学学习兴趣，也激活了学生的数学思维.

用巧妙合理的方式开展教学，学生对于知识的领悟更加透彻，思维方式更加多变.如此培养出的学生更能在今后的数学建模活动中轻松地联想到与问题相对应的多种数学知识与方法，进而快速地提出应对策略，解决相应问题.

（三）重视数学语言的培养，教会学生用数学感受生活

数学语言是数学思维的载体，调查表明：凡是数学成绩不理想、数学能力薄弱的学生，有很大一部分是数学语言匮乏的人.学生如果缺乏数学语言的表达能力，就无法准确传达数学思想，在建模过程中往往会困于烦杂的文字语言，找不到题目的突破口，或是对于已经写出的大量公式、符号没有直观的感觉，导致解题陷入僵局.作者在试讲课答辩时，面试官曾向我提问：“请你用数学文字语言描述余弦定理的内容.”在点评时，他告诉我：现在的教学过程中，大多数教师教给学生的余弦定理仅仅是形如“c²=a²+b²-2abcos C”的三个公式，而很少有老师会告诉学生，三角形的余弦定理是：三角形任意一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.如果教学中长期使用单一形式的数学语言进行授课，那么学生对不同种数学语言的学习得不到加强，在建模时的分析和解题过程将会受阻，无法有效实施实际问题与数学情境的相互转化.

一般来说，我们将数学语言分为直观性数学语言和抽象性数学语言，其中包括数学概念、术语、公式、符号等.用直观性数学语言把抽象的公式或符号加以解释，或是用简洁的符号公式来表示复杂的命题概念，也是数学教学中的重要环节.这两种教学环节的实施是相辅相成的，一方面，将表达式“f（x）=-g（x）”转化为描述性语言“函数f（x）与函数g（x）关于x轴对称”，也就是把一些抽象的公式符号以更加具体的方式展现给学生，更易于学生理解和领会;另一方面，将正弦定理“在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径”转化为简洁的公式“a/sin A=b/sin B=c/sin C=2R”，也就是将复杂绕口的数学定理、命题等转化为简短的公式和符号，方便学生记忆和使用.

抽象与直观，两种层面上的数学语言相互转化的教学方式，能帮助学生建立起数学语言的转化意识，培养学生用数学语言表示实际场景的能力，也让学生在建模过程中，在准确表达题目思想的同时，能够透过数学之美来感受生活之美.

四、“用一次函数解决问题”的教学分析

教学内容选自苏教版数学学科八年级上册第六章第四节“用一次函数解决问题（第一课时）”.

（一）教学目标

1.通过对具体问题的分析，引导学生找出变量之间的关系，利用一次函数模型将实际问题转化为函数问题进行解决，发展学生解决问题的能力.

2.带领学生初步了解方程与函数的关系，体会不同数学模型间的区别与联系，培养学生的应用意识，让学生感受到函数等数学模型来源于生活，应用于生活.

（二）教学重、难点

重点：从实际问题出发，建立起函数模型的概念框架，获得数学建模过程的简单体验.

难点：抽象出实际问题中的常、变量关系，根据量之间不同的变化规律，灵活运用函数知识，建立合理的函数模型.

（三）教学过程

1.复习回顾，引入新课

（1）已知一次函数的图像经过点（1，2），（-2，3），求一次函数的表达式.

（2）已知一次函数y=ax+3，当x=2时，y=7，求a的值.

（3）[根据课前预习内容进行作答]拖拉机开始工作时，油箱中有40升油，已知该拖拉机每小时耗6升油，写出油箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（小时）之间的函数表达式.

设计意图：通过简单提问帮助学生回忆一次函数的表达形式，引导学生自主建立一次函数模型，并进行简单应用.以实际应用问题驱动学生联系一次函数的斜截式，代入问题情境，进行简单建模，让学生体会数学建模的思路，经历建模的主要过程，加深学生对一次函数知识的理解.

2.创设情境，探索新知

探究活动：位于云南省的玉龙雪山主峰海拔为5596米，在海拔4500米处，有一条分离白雪与原始森林的分界线，称为雪线.由于气候变暖等地理原因，玉龍雪山的雪线平均每年上升约10米.假设雪线的高度按照该速度不断变化，几年之后玉龙雪山的雪线将由现在的海拔4500米退至山顶而消失？[5]

思考：（1）上述问题情境中的常、变量有哪些？

（2）变量之间存在哪些关系？

例：某工厂生产某种产品，已知每天运作的固定成本为15000元，每件产品的原始用料及加工成本总计为1000元.

（1）写出每天的生产成本（包括固定成本、原始用料及加工成本）与产量之间的函数关系;

（2）如果每件产品的出厂价为1600元，那么每天至少生产多少件产品，该工厂才有盈利？[5]

分析：

（1）先找出题目中的常、变量，再根据数量关系“工厂每天的生产成本=固定成本+所有产品的原料及加工成本”写出函数表达式;

（2）根据每天的销售收入与每天生产成本之间的关系建立不等式，求出其解即可.

设计意图：创设实际生活情境，引导学生找出题目中的常量与变量，并分析、思考其数量关系，考虑能否套用一次函数模型进行解题.同时，合理设计问题情境，引导学生将不等式模型与一次函数模型相结合，将新知与旧知相联系，提升学生认知高度，加深其对于数学模型的理解，提高学生灵活运用数学模型的能力.

3.课堂总结，交流回顾

思考：用一次函数解决实际问题的过程中应该注意哪些步骤？是否所有应用题都能用一次函数模型进行解题？如果不是，该如何处理？

提示：用一次函数解决实际问题——“四步走”.

（1）找出问题中的常量、变量;

（2）分析变量之间的关系;

（3）若具有一次函数关系，则利用一次函数表达式建立数学模型;

（4）利用一次函数的相关知识解决问题.

注：部分题目中没有明确指出建立何种函数关系时（特别是所学函数类型越来越丰富时），要懂得灵活分析变量关系，建立合适的数学模型.

设计意图：通过问题启发学生提炼归纳一次函数模型的建立过程，体会数学建模的关键步骤和重要思想方法.进一步理解数学建模的过程：从实际问题情境中抽象出主要常量、变量，发掘量之间的变化关系，结合已有知识构建合适的数学模型，如函数模型、不等式模型、数列模型、方程组模型等，最终以模型结合实际解决问题.利用交流总结的学习过程，进一步强化学生对于数学建模过程的体悟.

4.拓展强化，课后提升

思考题：爸爸带你去商场买鞋时，决定考一考你.如果已知爸爸穿42码的鞋，长为26厘米，妈妈穿35码的鞋，长为22.5厘米，同时，售货员阿姨还告诉你，38码的鞋长为24厘米，40码的鞋长为25厘米，那么你能算出自己34码的鞋长为多少厘米吗？

分析：根据量之间的变化关系，猜测应该建立一次函数模型.要验证该猜测是否正确，可建立直角坐标系，描点、画图进行检验，体会数形结合思想.

设计意图：利用思考题促进学生课后思考提升，启发学生灵活运用数形结合等数学思想进行变量分析，根据分析结果合理建构函数、不等式等模型进行解题.

综上所述，文章对课程标准中学生建模素养的培育进行了简要分析，合理的教学方式很大限度上能加固学生的知识基础，提升学生的数学思维品质，并增强数学语言的表达能力，这将为中学生建模素养的培育奠定良好的基础.因此，我通过查阅相关资料，提出了一些关于教学方式的思考和建议，并结合苏教版八年级上册的数学教材，以“用一次函数解决问题”第一课时的教学内容为例进行了课程分析，希望对中学生数学建模素养的培育工作有所帮助.

【参考文献】

[1]袁一鸣，赵继源，周晓颖.初中数学思维定式的调查与分析[J].当代教育论坛，2011（12）：104-106.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标準[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[4]赵伟.思维定式与中学数学教学的理性思考[J].中学数学杂志（高中），2007（3）：13-14.