高等代数中多项式理论的教学实践与思考

邓凯，王小刚，朱立军

（1. 北方民族大学 数学与信息科学学院，宁夏 银川 750021；2. 宁夏科学计算与智能信息处理协同创新中心，宁夏 银川 750021）

高等代数是大学一年级数学类相关专业的一门学科基础课，对学生后续的课程学习和专业发展有着重要影响．高等代数的教学内容主要包括多项式理论与线性代数2部分，其中多项式的研究起源于一元多项式的求根问题，是早期代数学研究的主要对象．北方民族大学选用的教材是北京大学数学系编著的《高等代数》（第4版）[1]，考虑到多项式在线性代数部分有诸多应用，教学计划安排先学习多项式理论，主要包括一元多项式的定义与运算、带余除法、因式分解理论、多项式函数与根等内容．中学时期多项式的学习主要涉及二次方程的求根和二次函数的分析性质等方面，学习内容具体，注重解题技巧的训练．高等代数中多项式理论是中学代数的继续提高和升华，注重讨论一般性的结果，内容抽象，不仅要求掌握具体的解题技巧，具备一定的运算能力，更重要的是培养逻辑推理能力、抽象分析能力和创新能力，学习难度大、要求高．教师对刚入学的新生没有全面了解，教学方式和方法不容易把握，加之一年级新生缺乏学习经验，导致教学过程中学生反映难学、教师反映难教．这些实际问题促使我们对多项式理论的教学进行研讨，以教学实践为基础，探索普遍适用的教学方式与方法，以期提高教学质量，为学生的后续学习和专业发展夯实基础．本文从培养学生自学习惯，激发学习兴趣，提高教学效率，加强数学思维训练和信息技术辅助教学等5个方面展开讨论．

1 培养学生自学习惯

高等代数课程的突出特点是理论知识多、内容抽象，除了课堂学习之外，还需要花费课余时间完成学习任务，这就要求学生要自主学习．高等代数教材每个章节的内容信息量大，章节之间联系紧密，知识抽象，具有一定难度，初学者往往容易产生挫败感，课程初期就会有部分学生产生畏难情绪，影响后续知识的学习．因此，课程一开始就要引导学生学会自学，尽快地了解学习内容，掌握学习方法．阅读教材是自学的基本环节[2]，可以此为抓手，培养学生的自主学习能力．

以一般多项式的求根问题为主线，在课程伊始就结合教材对知识框架做一个完整的介绍，虽然一些概念和定义学生之前并不清楚，但是这样做的主要目的是让学生熟悉教材，了解要学习的内容，为阅读教材打好基础．在具体的学习实践中，要求学生课前要预习，课中要提问，课后要总结，利用这种模式逐步地形成“学教材”到“用教材学”的转变．高等代数知识高度抽象的特点，使得初学者难以在短时间内理解和掌握所学知识，课前预习的目的是通过阅读教材了解课程主要内容，熟悉基本概念、定理和符号，记录疑惑或问题，为课堂学习做好准备．根据实际教学情况，教师要制定预习提纲，为学生自学教材提供帮助和指导．如一开始就要求学生阅读教材附录二中关于整数的可除性理论的介绍，整数作为具体而熟悉的对象容易被学生掌握，为后面类比学习多项式环上的整除性理论做好了铺垫，也使学生感受到了类比学习是一种有效的数学学习方法．鼓励学生在课堂上随时向教师提问，通过这种方式高效地解决问题，消除学生的疑惑，在课堂教学中起到以点带面的作用，有利于形成良好的课堂氛围，提升学生学习的主动性．课后要做好学习总结，总结不是教条地再看几遍教材，而是要结合课堂学习成果，厘清概念和定理的来龙去脉，加深对相关内容的理解，凝练知识，建立自己的认知体系，养成主动学习的习惯．教师通过课堂表现、提问、小测验、谈话和学习小结等多种形式了解学生自学的情况，并将自学情况作为平时成绩的观测点，促进学生自学习惯的养成．

2 激发学生学习兴趣

兴趣是对学习内容的一种力求认识的倾向，伴有积极的情感色彩，是学生获得成功的关键[3]．如果说专业设置要求必修高等代数课程是学生学习的外因，那么兴趣就是学习的内因．教学实践表明，许多一年级新生仍处于应对考试的被动学习状态，加之多项式的学习内容抽象、计算繁冗，容易导致学生失去学习兴趣．如何激发学生的学习兴趣一直是教学研究的热点[4-5]，兴趣的培养不是一蹴而就的，数学学习兴趣的培养是多个方面共同作用、动态发展的过程．

为激发学生的学习兴趣，在教学实践中应注重以下几点做法：（1）强调高等代数作为学科基础课对后续学习及专业发展的重要影响，从客观上要求学生重视高等代数的学习；（2）通过介绍学习经验和课程特点，指出自主学习是大学学习的有效方式，举例说明高等代数是中学代数的拓展和抽象，有一定难度，需要经过个人坚持不懈地努力才能理解和掌握，从主观上促使学生端正学习态度；（3）教学实践中教师要善于观察学生的学习状态，及时做好思想教育工作，加强课堂管理，改善学生的学习态度，自然就提升了学习兴趣，在教学中往往会产生事半功倍的效果；（4）教学活动中要注意师生平等，教师应该成为陪伴学生学习的朋友，通过对学生的关心和帮助建立融洽的师生关系，营造良好的学习氛围，使学生在学习过程中产生积极的情感，有利于增强学习兴趣；（5）通过做好新旧知识的衔接，阐述概念的来龙去脉，揭示概念、定理的本质含义，穿插数学趣闻等方式吸引学生积极参与课堂教学；（6）通过举例展示高等代数中特殊抽象为一般，再由一般解决特殊的实践过程，让学生感受到高等代数的抽象特征及其广泛应用，在升华认知的同时激发学习兴趣；（7）在高等代数实验课中利用数学软件演示带余除法、求解最大公因式和多项式近似求根等问题，增强课程的实践性和趣味性．

3 提高教学效率

多项式理论部分内容丰富、计算繁冗、抽象性高，优化课堂教学是提升教学效率的有效途径，学生的学习准备和教师的教学准备是优化课堂的2个重要方面．学生应按照教师要求的预习提纲做好课堂学习准备，并将这一过程纳入到课业评价中以保证完成质量．教学过程是一个动态发展的过程，教师的教学设计要灵活，要能够结合课堂实际优化教学．在最大公因式概念的教学中，在学生自学的基础上可以先直接提问什么是2个多项式的最大公因式，借以了解学生是否已经熟悉概念，再根据实际情况引出定义．如果一上课就直接在黑板上写出定义，不但缺失了师生互动，而且给学生一种刻板的印象，导致学生没有兴致参与课堂教学．中学阶段学习过因式的概念，一般来说学生都能够自学掌握最大公因式的基本定义，教师要察觉到这种课堂动态，不必要再花费时间咬文嚼字地去解释定义，需要强调的是“最大”依赖于整除关系，是一种偏序．2个次数不小于1的多项式的情形学生也容易理解，难点在于对有零多项式和零次多项式这2种退化情形的认识．可以分别讨论0与f(x)，a（a≠0）与f(x)的情形，以加深对最大公因式的理解，特别是有意识地例举2个整数的情况．如多数学生知道16与24的最大公因式是8，这个答案是正确的，但却是基于整数环上的理解，而多项式环上最大公因式的讨论是基于数域上的讨论，这是本质的差异，弄清楚这一点就容易理解任意一个非零数都是16与24的最大公因式，而且首1最大公因式（16，24）=1，这说明16与24是互素的．这样的实例颠覆了学生之前在整数环上的认识，强烈的反差能使学生留下深刻的印象，加深了对概念的理解．这样的教学设计避免了重复讲解，抓住了关键，能够吸引学生，提高教学效率．

4 加强数学思维方式训练

高等代数课程的基础性也表现在它是训练数学思维方式很好的载体，通过学习可以提升逻辑推理能力、抽象分析能力和创新能力等基本素质，不仅对专业学习有帮助，而且对个人的发展十分有益．数学的思维方式是一个全过程：抓住客观现象主要特征，抽象出概念；提出要研究的问题，运用举例、直觉、归纳、类比、联想和逻辑推理等进行探索，猜测可能有的规律；经过深入分析，只使用公理、定义和已经证明了的结论进行逻辑推理来严密论证，揭示出事物的内在规律，从而使纷繁复杂的现象变得井然有序[6]．从二次多项式和三次多项式抽象引出一般多项式的定义是常用的教学方法，但是要注意2个方面，一是多项式系数抽象到数域上讨论，二是多项式是一种抽象的形式定义，包括运算也是如此．这样学生不仅能体会到数学从具体到抽象的发展过程，而且从较高层次对中学的知识有了新的理解．由此学生自然也容易通过类比和联想等方式将具体的问题推广到一般情形，如一般多项式求根问题，基本的解决办法是以带余除法为基础的代数方法和以余数定理为基础的函数方法．教学过程中要用板书的形式严格证明带余除法定理和余数定理，训练学生的数学思维，加深其对基础知识的理解．在掌握了带余除法定理和余数定理之后，继而讨论因式分解问题，通过分析、推理和论证揭示出复系数多项式和实系数多项式的标准分解形式．有理系数多项式作为具体情形，既与复系数和实系数多项式的处理方式有联系，又因其不可约多项式的复杂性需要新的思考，教学中要抓住本原多项式这个关键[7]，建立有理系数多项式与整系数多项式之间的联系，从而引出求根定理．

虽然多项式求根问题是一条教学主线，但是高等代数课程并没有过多涉及多项式求根方法．教学中应指出多项式求根的问题还远没有解决，但是伽罗瓦彻底解决了一元n次方程是否可用根式求解的问题，由此创立了伽罗瓦理论，引领代数学由研究方程的根为中心转变为以研究各种代数系统的结构及其态射为中心，开辟了新的代数学科．这样的说明有承前启后的作用，既解决了学生的疑惑，又为后续的代数学习做了铺垫．另外，习题课上要注重解题思路分析，引导学生使用公理、定义和已经证明了的结论进行逻辑推理来严密论证，最终揭示规律或答案，以此达到训练数学思维的目的．

5 利用信息技术辅助教学

现代教育信息技术与数学教育的有机融合产生了“互联网+数学教育”[8]，利用网络和多媒体技术辅助高等代数教学也是大势所趋[9-10]．多项式的内容抽象，注重理论分析和逻辑推理，学习难度大，以讲授为主的传统教学模式在课时限制和大班教学的现实情况下不利于因材施教和拓展学习，应该积极探索以网络和多媒体技术为基础的现代化教学手段辅助教学，加强个性化教学，提升学习层次．

多项式的定义与运算虽然教学内容多，但难度不大．高等代数精品课共享资源、视频公开课、慕课等丰富的网络资源提供了优质的课程素材，教师通过QQ群等网络交流平台将整理好的学习资料发送给学生，以问题为导向，要求学生预先自学．课堂上利用翻转课堂的形式分组讨论，教师作为组织者和引导者，注意补充和纠错，引导学生深刻认识多项式抽象的形式定义，理解变量符号的广泛代表性，通过乘法结合律的证明反馈运算性质的学习情况，特别是对连加符号的掌握情况．最后，指出多项式及其运算构成了一个抽象的代数结构多项式环，结合整数环和多项式环这2个具体实例，进一步抽象提出环的概念，课后可以发布一些有关环的基础代数知识供学生参考学习，既加深了学生对多项式环的理解又提升了其对抽象代数的认识．还有一个自然的问题就是多项式环上为什么没有定义除法，引发学生讨论，为后续学习做好铺垫．为了将教学环节有效地拓展到课外，学生参与网络学习和讨论的情况应该纳入到课程评价考核体系中，督促全体学生积极参与．教学实践表明，这种以学生为主体的个性化学习方式确实有一定的效果，提高了教学效率．

理论性较强的部分不适合网络自学，如带余除法定理、最大公因式的存在性及组合表示、因式分解理论等．这些内容的学习通常需要通过板书一步一步地讲解，引导学生同步进入抽象分析和逻辑推导的情境，体会数学思维的全过程，最终形成自己的认知和理解．但是这种教学模式也有局限性，为了提高课堂效率，教学设计常常是为了引导学生发现后续的一些结果或者是一些正确的结论，学生在课堂上总是顺利地获得知识．这样的过程实际上是回避了学习探索中的失败体验，是由教师主导的总是向着正确结果发展的学习过程，这对学生独立解决问题十分不利．因此，经常会出现学生课堂听得懂，却不会做习题，尤其是证明题，不会解决问题往往导致学生失去信心，从而丧失学习兴趣．为解决此类教学问题，课后可以通过网络发布一些与课程内容紧密相关的问题，提供必要的参考资料，由学生通过自我探索解决问题．如带余除法中商式和余式是唯一的，那么2个多项式的首1最大公因式的组合是否唯一问题；多项式的整除关系不因数域的扩大而改变，但是数域的变化却影响因子分解，分析思考，提出哪些多项式的性质是基于数域不变的．教材中没有讨论这些问题，限于课时课堂教学中往往也不涉及这些问题，可利用网络引导学生讨论，以课外实践性作业的形式，由学生自己去探索答案．通过钻研这些问题，不仅开阔了学生的视野，加深了对知识的理解，而且对培养科研创新能力十分有益，提升了学习层次．

6 结语

本文结合教学实践，对高等代数课程中多项式理论的教学展开研讨，探索有效的教学方式，提升教学质量．从培养学生自学习惯入手，采用多种方式激发学生学习兴趣，在此基础上通过优化教学设计提高教学效率，遵循数学学科一般规律，注重数学思维训练，利用信息技术加强个性化教学，提高学习层次．实践表明，这种教学方式是有效的，在一定程度上提升了教学质量，也可以推广到其它基础数学课程的教学中．