弗雷格论“同一性”

刘永慧，颜中军

（湖南科技大学马克思主义学院，湖南 湘潭 411201）

同一性难题是长期困扰哲学家的三大难题之一。[1]德国著名哲学家、逻辑学家弗雷格对此做过许多精辟的论述，提出了富有启发性的解答方案。自《概念文字》开始，为了获得形式系统的一般性而引入“内容同一”符号，但这个符号会带来一些棘手的问题。[2]所以，他在《算术基础》中果断放弃了“内容同一”而转向“对象同一”。随着逻辑主义方案的出现，他把“相等”理解为“对象同一”，并且普遍使用在《算术的基本法则》及其他论著中。正如他自己在《论涵义和意谓》中所察觉到的，这样处理“相等”会导致同一性难题。他试图通过区分符号的涵义与意谓，来阐释同一性称述之间的认知价值差异。但是，弗雷格的解答并不成功。导致失败的根源不仅在于弗雷格的“涵义”晦暗不明，而更为关键的原因在于“同一性”概念本身充满含混与歧义，缺乏正确的分析。

一、“内容同一”的引入及其逻辑角色

1.引入“内容同一”的必要性

自《概念文字》开始，弗雷格就坚定地认为，在基本的符号之中必须有一个关于同一的符号，否则逻辑就不能满足作为一般性的推理系统。为了达到这种一般性，不仅同一符号必须出现在或真或假的语句之中，而且它还必须是一个逻辑符号，能使同一陈述的真通过替换而保持不变。在介绍了“判断”、“条件性”和“否定”之后，弗雷格提出了“内容同一”概念。他说：“内容同一与条件性和否定性的区别在于，它与名字有关，而不是与内容有关”。[3]20因为在一般情况下，符号只是内容的代表者，含有它们的各种组合仅表达内容之间的关系。但是，如果它们由内容同一符号联结在一起，就突然将它们自身表现出来，由此表示两个符号具有相同的内容。

弗雷格敏锐地指出：“这种情况首先使我们觉得好像这里所探讨的是仅属于表达式而不属于思维的东西，好像根本不需要不同的符号表示相同的内容，因而也不需要表示内容同一的符号”。[3]20他用一个几何学例子来反驳这种假象。例如，符号A与B有相同的内容——表示同一个点。但我们不能从一开始就只使用一个符号，因为同一个点可由不同方式来确定。弗雷格以此论证在形式推理的逻辑系统里引入“内容同一”符号的必要性：

（1）可用不同方式确定相同的可判断内容，而在能够做出这一判断之前，必须将与这两种确定方式相应的、两个不同的名字指派给由此确定的东西。因此，这个判断的表达需要一个内容同一符号，以便使这两个名字联结起来。“由此得出，表示相同内容的不同名字并非始终仅是一个无关紧要的形式问题，相反，当它们与不同的确定方式联系在一起时，它们与问题的本质有关。在这种情况下，以内容同一为对象的判断在康德意义上是综合的。”[3]21

（2）有利于简化系统。弗雷格指出：“引入一个内容同一符号的更外在的理由在于一个缩写代替一个冗长的表达式有时是很适宜的。在这种情况下必须表达出缩写的和原初形式的内容同一。”[3]21他用├（A≡B）表示一个内容同一陈述，意味着：符号A和B具有同样的概念内容，所以A总能被B替换，反之亦然。这个由三条横线组成的“内容同一”符号可以解释为关系“…与…有相同的概念内容”或（）≡（）。它带有空位，但填入的不是表示对象的符号，而是符号自身。弗雷格用内容同一符号描述了符号之间的元语言关系。

2.“内容同一”的逻辑角色

弗雷格认为，含有“内容同一”的陈述能够扮演逻辑角色，当且仅当这些能相互替代的符号的概念内容是相同的。早在《概念文字》中，他就明确地指出，“在判断中仅考虑对那些可能的结果有影响的东西。一个正确推论所必要的所有东西要全部表达出来；但是不必要的东西一般也不用提示”。[3]8据此，弗雷格似乎认为“内容同一”表达了必要的信息，以使推理能够合理地进行下去，并且这个信息必须是元语言的。因为弗雷格最为坚持不懈的一点是逻辑系统中证明的形式本质。他所要表达的是，当思想之间具有可推关系时，从承载思想的形式方面就能决定一个思想能否从另一思想推出来。因此，如果同一性陈述允许替换的话，那么必须携带符号的相关信息。如果一个由符号组成的判断，其中的符号具有相同的内容，例如“c≡d”，我们就能在一个证明中，从判断：├f(c)，到判断：├f(d)。他用命题（52）来概括这个推理：├(c≡d)→(f(c)→f(d))。它“表明，如果c≡d，那么我们能到处用d替换c”。[4]

弗雷格承认，他在处理命题（52）时，是把同一替换作为一条基本的规则来执行的。但是，弗雷格并没有进一步阐明把（内容）同一替换表述为一个推理规则的优点。此外，把（内容）同一替换表述为一个内在于某个系统的基本命题，迫使弗雷格对符号的理解产生分歧：“引入一个内容同一符号必然产生所有符号意谓方面的分歧，因为相同的符号有时表示它们的内容，有时表示它们自己。”[3]20在证明中，通过符号的形式匹配，证明得以一步一步地（step by step）进行下去，并且为了表明这些匹配是合法的，我们需要代表符号的符号，即需要提及符号。另一方面，在陈述中使用符号被认为是与推理有关的，但这并不要求在相关的形式中符号本身被提及。因此，当规定“内容同一”具有元语言特性时，必然导致混淆符号的提及和使用。不过，从《算术基础》开始，这些问题立即受到重视，使他转向一个十分不同的观点。

二、从“内容同一”到“对象同一”

1.放弃“内容同一”

如前所示，弗雷格用“确定方式”说明在概念记号中引入“内容同一”符号是合理的。反对者也许指责它是多余的，因为我们可以事先禁止符号有相同的概念内容。不过，这个反对理由并不一定成立。因为相同的内容完全可以拥有不同的确定方式。不同的确定方式为给定对象拥有多个名称提供了充分的理由。

不过值得注意的是，弗雷格在论证“内容同一”的合理性时，并没有选择算术例子而是一个几何学例子。他从不把一个算术等式写作“2+3≡5”，而是“2+3=5”。他避免使用算术例子的理由在于：在算术中符号与内容之间是一一对应关系，即每个数有且仅有一个符号即数字，因此没有必要用不同的符号表达相同的内容。弗雷格在算术命题中使用等号“=”，而不是内容同一符号“≡”。他觉得没有必要对一个“=”下定义，因为等号是定义其他符号的前提条件，其涵义是显而易见的。

“相等”和“内容同一”是一对互补概念，含有“=”的判断不能被含有“内容同一”的判断替代，反之亦然。譬如，“2+4≡6”表示“2+4”和“6”具有相同的概念内容；而“2+4=6”表示“2+4”与“6”具有相同意谓。

“相等”除了不是元语言关系外，还在另一个重要方式上与“内容同一”不同。后者的特征之一是，与概念内容相关的重要信息被隐蔽起来了，需要通过确定方式来揭露。而在等式中，算术的相关信息是直白地展示出来的。如“2+4=6”所表达的算术信息就是：2与4之和等于6。这里无须确定方式来揭示这个信息。

在《概念文字》中，弗雷格并没有把“相等”归入“内容同一”。因此，他实际上有两个同一符号：“相等”和“内容同一”。另外，我们只看到内容同一替换，即命题（52），

而看不到对“相等”的刻画。或许弗雷格认为，“相等”是一个算术概念，将在算术里得到详细的阐述。但是我们仍难以想象这没有使他感到苦恼，即“同一”被刻画为两种不同的情况。这必将暗示了某个失误。自然的反应是，寻求一致的、适合于所有情况的同一概念。这正是弗雷格从《算术基础》开始所做的。

2.转向“对象同一”

面对“同一”理解的分歧，弗雷格选择的策略是，引进一个新概念以包含旧概念。这个新概念就是“对象同一”。任何使替换生效的判断现在被分析为“同一陈述”。这不仅包括原来的内容同一判断，还包括数学等式。在《算术的基本法则》的导言中，弗雷格坦承这个带有修正主义色彩的改变：“代替三横线，我已经采用普通的等号，因为我已经劝服自己，在算术里恰好有我所想要的符号的涵义。那就是，我用‘相等’一词表达‘与……一致’或‘与……同一’一样的涵义。事实上等号在算术里就是以这种方式使用的。”[5]6

众所周知，弗雷格的哲学图画具有强烈的一致性。而他寻求一致性的最初动机起因于对逻辑系统的考虑，即关于《概念文字》的形式推理系统。但在《算术基础》中，随着逻辑主义方案的出现，这幅图画变得相当宽泛。为了执行这个方案，要求净化逻辑，即所有的东西必须弄清楚。因此，弗雷格重新了定义“数”，而“相等”变成了最基础、最本质的东西。他在《算术基础》中列出了原因：

“如果我们不能有关于数的表象或直觉，我们怎么才能得到一个数呢？语词只有在句子联系中才意谓某种东西。因此重要的是说明含有一个数词的句子的意义。暂时这仍然有很大的任意性。但是我们已经确定，应该把数词理解为独立的对象。以此我们得到一类必然有意义的句子，即表达出重认的句子。如果我们认为a这个符号应该表示一个对象，那么我们必须有一个记号；它使我们到处都可以判定，b是不是与a相同，即使我们并非总能应用这个记号。”[6]78-79

这个用于表达“重认”的普遍记号就是等号。为了获得“数”，弗雷格提出了著名的语境原则：只有在包含数的命题中寻找数的意义。这类命题就是同一陈述。根据语境原则，为了得到逻辑对象（例如数），必须能构成关于这些对象的命题。如果这些命题是关于它们的同一，那么这些对象之间必须拥有同一关系，并且必须是“对象同一”而非“内容同一”。因为“内容同一”仅能给出一个关于数字的同一标准，而不是数。“对象同一”恰好承担了他所期望逻辑角色。弗雷格在《算术基础》中采用了莱布尼茨对“同一律”的定义：“能够用一个事物替代另一个事物而不改变真，这样的事物就是相同的。”[6]82他认为，在普遍可替代中包含着同一律。因此，同一陈述就是对象同一陈述，在它所出现的证明中，替换是有效的。这是弗雷格“成熟”的观点，贯穿于后来的工作之中。

弗雷格在《算术基础》中处理问题的方式是非形式的，在九年之后的《算术的基本法则》第一卷里，他给出了形式化的表述。在《算术的基本法则》中同一符号是一个未定义的术语，并且详细说明了包含这个符号的陈述的真值条件：如果是相同的，将指示真，而在其它一切情况下它将指示假。另外，不同于《概念文字》的是，通过基本法则Ⅲ，他详细说明了同一陈述的逻辑角色，而不再谈论符号的替换：如果是真的，那么也是真的；换言之，如果是相同的，那么落入每个落入的概念之下；或者说，每个含有的陈述也含有。[5]71最后，不同于《概念文字》，弗雷格明确地在《算术的基本法则》中假定一个一般性的“指示”概念，允许数相等，并且与“内容同一”一起包含在“对象同一”之内。数字“5”是一个数的原子名字，“2+3”是这个数的复合名字。“2+3=5”是真的同一陈述，因为“2+3”和“5”都指示数5。

从逻辑的观点来看，弗雷格由“内容同一”转向“对象同一”是适当的，但仍面临一个关于同一陈述的语义难题，而问题的根源就在于他对“同一”的理解充满含混。

三、“相等”与同一性难题

1.“相等”与“对象同一”

弗雷格从“内容同一”转为“对象同一”，把“≡”化归为“=”，这是其同一理论的基本思路。然而，等号作为数学中一个基本符号，很少有人对它进行深入的研究。“大多数数学家对于等号根本不做任何说明，而是假定已知它的涵义。但是人们不能轻易相信，他们本身是否完全清楚这个涵义。”[7]277

那么，弗雷格是如何理解“相等”或“=”的？他是否完全清楚这个涵义？当代著名哲学家M·达米特认为，弗雷格是历史上第一个把“相等”引入逻辑学的人。[8]但是通过阅读其著作不难发现，弗雷格把“相等”理解为“同一”，准确的应该是“对象同一”。他不止一次解释说，他是在“同一”的意义上使用相等的，即“与……相同”或“与……一致”的意义上使用“相等”和“=”。

弗雷格认为，等号构成了一类基本的逻辑表达式——等式。等式的语言形式是断定句。这样的断定句含有一个思想作涵义（或者至少要求含有一个思想作涵义）。这个思想是或真或假的，即有一个真值。例如，等式“5=2+3”表示等号左边和右边的符号的意谓在各个方面完全一致。弗雷格严厉斥责那些混淆符号与符号的意谓的数学家们：“难道完全不能以不同符号表示相同的东西吗？只是符号的差异难道就能当做认为符号表示的东西有差异的充分理由吗？如果我们假定2+3与5不同，我们会有什么结果呢？”[7]278他尖锐地指出，这样根本不会有一个简单的整数系列，而是一团糟。“……因此我们坚持认为，‘2+3’、‘3+2’、‘1+4’、‘5’这些符号表示同一个数。”[7]278-279在他考察了数字与数的一一对应关系之后指出，当我们从数字过渡到数时，那么就是从“相等”过渡到“同一”。从不同的数字符号相等，得到它们表示同一个数。并且“只要通过任何逻辑上的魔术达到真正的数，就不可避免地会同时将等号变为同一符号。”[7]282

2.同一性难题及其解答

弗雷格在《概念文字》中发现了“对象同一”的一个问题，即它不能提供推理的正确信息并且不能胜任他所要求的逻辑角色。在个问题更加直接地凸显在“a=b”和“a=a”的认知价值差异中。这个著名的语义问题就是所谓的“同一性难题”，又称为“弗雷格疑难”（Frege’s puzzle）。它可以表述如下：如果a=b是真的，那么它如何与a=a在意义上或认知价值上不同？[9]

为什么会出现这个疑难？他在《论涵义和意谓》的开始之处就明确地指出这个疑难起源于“相等”：“由于相等涉及许多问题，而且这些问题并非十分容易回答，因此引起人们的思考。它是一种关系吗？是对象之间的关系？还是对象的名字或符号之间的关系？”[10]

首先，他默认了相等是一种关系。但他并没有清楚地阐明相等到底是何种关系。在《概念文字》中，他认为“相等”是对象的名字或符号之间的关系，即内容同一关系。由于符号与对象的结合是任意的，结果导致a=b就不再是关于事物本身，而仅仅是关于确定方式的了。如果这样的话，那么我们不能获得实际的知识。

另一方面，“相等”是对象同一关系吗？他指出，如果“相等”表示符号“a”“b”意谓之间的关系，那么当a=b为真时，a=b与a=a没有什么不同。也就是说，a=b会坍塌为a=a，变得像a=a一样琐碎和不足道。但现实情况是，a=b与a=a显然是具有不同认识价值的句子。后者是同一律的一个实例，是先验有效的和分析的，因而是不足道的；前者却是后验的和综合的，它十分有意义地扩展了人们的认识。辨认出“晨星”和“暮星”是同一颗行星——金星，也许是天文学中最富有成果的发现之一。

换言之，弗雷格的同一理论面临着困境，即不能合理地解释同一陈述a=a与a=b之间的认知差异。对此，弗雷格显得“十分机智”。他“独辟蹊径”地求助于符号的涵义，严格区分符号的意谓和涵义。他自信地告诉我们，与一个符号相关联的，除了要考虑符号的意谓外，还要考虑符号的涵义。而符号的涵义与人们的认识有关。利用“涵义”这个关键概念，弗雷格十分轻松地“解除”了这个疑难：尽管a与b的意谓相同，但涵义不同，因而a=a表达的思想与a=b表达的思想也不同，所以两者具有不同的认识价值。

四、对弗雷格同一性理论的批判

前文分析了弗雷格的同一性理论面临的困境，以及他为解除这个困境所做出的努力。实际上，同一性难题产生于他对“同一”的理解。他的同一性理论与他的其他著名观点一样，表面上保持着强烈的相似性和一致性，但在这些精美包装之下，掩藏着许多缺陷。正是这些内在缺陷使他遭致困境，即使求助于涵义，最终也难逃失败的命运。[11]

1.“同一”扮演双重角色

在弗雷格看来，为了获得逻辑系统的一般性，必须要有同一符号，在《概念文字》中他称为“内容同一”，而从《算术基础》开始转为“对象同一”。但正如他自己所分析的，在数学中“内容同一”是不必要的，不能使逻辑具有一般性。另外，如果符号之间具有内容同一关系，那么就不能相互替换，因为它们作为符号显然是不同的。所以含有“≡”的同一陈述不能满足替换律，不能承担应有的逻辑角色。因此，“内容同一”或“≡”是非逻辑符号。

那么，“相等”是逻辑符号吗？按照弗雷格的逻辑主义纲领，所有数学都可以化归为逻辑。等号作为数学中的一个基本符号也就是逻辑系统里的符号。细心的人能立即察觉此处隐藏的问题。因为含有“=”的同一陈述（如“a=b”），虽然从外延主义的观点来看能满足替换，但它也表达了一个实质命题。换言之，它能增加人们的认识。著名的同一性难题就是把“相等”理解为“对象同一”的最大阻拦。

总之，弗雷格以两种方式对待同一：“内容同一”与“对象同一”，并且在他的同一理论中执行两条标准：逻辑的和语义的。前者允许替换，后者增加认识。这就是其表面一致的同一性理论中隐藏的不一致。

2.混淆“相等”与“同一”

在《概念文字》时期，弗雷格只对“内容同一”进行刻画，并不包含“相等”。因为他隐约地感觉到了符号意谓方面的分歧。符号有时表示其内容，有时表达自身。而“内容同一”恰好能弥补这种分歧。但不久之后，在《算术基础》中“内容同一”被丢在一边，而只讨论“相等”。因为在数学中数字（符号）与数（对象）是一一对应关系，不会产生符号意谓方面的分歧。所以“内容同一”在数学中毫无必要。此时，在他的眼里，“同一”不是“内容同一”而应该是“对象同一”。“相等”就是“对象同一”的代名词。他反复强调是在“同一”的意义上使用“相等”和“=”。但“相等”与“同一”毕竟是两个不同的概念。正如前文已经指出的，“相等”不是一个逻辑符号。因为它不符合语义标准，虽然在透明语境中能保证替换有效，但在包含从句的晦暗语境中进行替换，会使句子真值发生改变。并且即使在透明语境中，它也不能合理地解释诸如同一陈述“a=b”与“a=a”的认知价值差异问题。

究其根源，“相等”实际上就是指符号意谓的相同，即“对象同一”；而“同一”既是内容相同而且还是意谓相同，是完全一致。“相等”是数学中的基本概念，而“同一”是一个哲学概念。就像经常混淆符号、专名与摹状词一样，弗雷格常常不自觉地混淆“相等”与“同一”。这必然给他带来麻烦。

五、结 语

弗雷格在贯彻逻辑主义纲领的时候，坚持认为需要一个同一性理论。但他的同一性理论是不一致的。借助“相等”，数的定义变得明确，并且可以表达一类基本命题——等式。数学等式被解释为同一陈述。它能使替换有效，是基本的逻辑形式之一。但这样处理“相等”无法解答同一陈述“a=a”与“a=b”之间的认知差异。虽然他求助于符号的涵义以图“化解”这个令人头疼的难题，但由于同一性理论内在的缺陷，使他最终无法摆脱失败的命运。这些缺陷是众所周知的，例如：混淆符号的提及和使用，混淆符号、专名与摹状词，以及涵义的模糊性、神秘性等。[12]而问题的根源在于混淆了“相等”和“同一”，对“同一”缺乏正确的分析。正是长期以来忽视对“相等”和“同一”的研究，所以才导致同一性难题。因此，应该严格区分并深入揭示“相等”与“同一”的涵义与性质，从根本上解决这个长期困扰人们的难题。