核心素养视域下的数学眼光及其教学策略研究

陈静安

(广东第二师范学院 数学系， 广东 广州 510303)

一、问题的提出

《高中数学课程标准(2017年版)》明确界定“数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学的学习和应用过程中逐步形成和发展的。数学学科的核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析”[1]4，并指出“引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”是培养学生数学核心素养的具体体现。然而，文献检索表明，关于核心素养中数学眼光的研究成果寥寥，尤其在中小学数学课堂教学中发展学生数学眼光的教学策略研究尚未得到必要的关注与重视，为此本研究运用文献研究法和案例分析法，从数学的内涵界定、数学核心素养和数学新授课教学内容三个维度，探析数学核心素养视域下数学眼光的可操作性含义，尝试提出相应的数学课堂教学策略，旨在抛砖引玉。

二、数学核心素养视域下的数学眼光探析

(一)基于数学内涵的视角

数学的内涵、结构与特点是研究数学眼光的基础。《高中数学课程标准(2017年版)》明确指出：“数学是研究数量关系与空间形式的科学”。科学作为分科的系统知识，在数学里表现为，不同概念之间、原理之间、命题之间……的发生发展存在着先后或者因果等内在逻辑关系。这清楚地表明，数与形是数学研究的两个重要对象。这里的数与形是剔除了具体的实际背景、进行了数学抽象与概括后获得的产物，因而具有高度的抽象性。并且，随着人类对于客观世界数量关系和空间形式的对象、内容、结构等认知的不断深入，在分析解决问题和数学应用中的不断发展获得的数量、图形及其关系也与时俱进在不断积累与丰富中而变得越来越复杂和多元。例如人类最先研究数出来的自然数，然后通过平均分问题产生“先分后得的”分数、对于特别的十进分数的运用与表达产生小数，再到有理数、实数、复数。类似地从小学教科书里正方形、长方形到三角形、平行四边形、梯形、圆，再到中学研究的三角形、平行四边形、梯形的性质与判定，以及椭圆、双曲线、抛物线……概念与性质探究。数与形的概念不仅上挂下联、层层递进、向纵深发展，而且环环相扣、横向联系、不断拓展。这又清楚地表明了不同数量、不同图形的概念及其原理之间客观存在孰先孰后的历史发展顺序以及谁因谁果的内在逻辑关系。这启示我们，作为研究数量关系与空间形式的数学，除了数与形这两个显性的研究对象，数学还研究数量与图形之间、新的或者未知数量与已知数量之间、新的或者未知图形与已知图形之间的关系(以下简称三个关系)。事实上，正是这些关系的梳理和建立，不仅丰富了数学的内容，而且使得数学的内容之间具有逻辑性、结构性、系统性特征。因此，数学课堂教学必然要关注数量与图形两大研究对象，以及上述三个关系与结构，对于这三个关系及其结构的认知、分析与揭示是数学教学的重要任务。

事实上，从认识论的角度看，任何事物都不是孤立、静止、独立存在的，彼此之间是普遍存在相互联系，并且处于不断的运动、变化与发展中，数学的世界也不例外。因此，对于数学的教与学，不应静止、孤立、片面、表象地看，而应从运动、联系和变化的观点去看，才能正确认识各种数量关系与空间形式的形成和发展，进而厘清数学知识之间的因果内在逻辑关系或时间发展先后顺序。综上所述，“数学是研究数量关系与空间形式的科学”这一概念界定，不仅表明了数量关系与空间形式是数学研究的对象，而且也启示我们，数学眼光就是用运动、联系和变化的观点观察与研究现实世界的数量关系和空间形式，其本质是建立联系的眼光，其结果是形成与获得数学的结构和体系，从中发展分析和解决问题的能力。

(二) 基于数学核心素养的视角

《高中数学课程标准(2017年版)》明确提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大核心素养。其中“数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到研究对象的素养。主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物背景中抽象出一般规律和结构，并用数学语言给予于表征” 。并且明确指出“数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。通过高中数学课程的学习，学生能在情景中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验……”[1]5。

以上仅数学抽象素养的概念界定就四次提到关系、两次提到结构和体系等术语。而认识数学关系、结构和体系的思想方法论基础是联系，其基本立场和出发点是整体观，本质是基于并且发展运动、联系、变化的观点。换言之，运动、联系、变化的观点既是认识数学关系、结构和体系的条件，也是认识数学关系、结构和体系的结果，二者互为因果、螺旋上升。这一方面启示我们，学会从数量与数量关系、图形与图形关系、数量与图形关系的眼光去发现和提出问题、分析和解决问题，进而获得数学概念与命题，不仅是发展学生数学抽象素养的具体体现，也是培养学生数学抽象素养的重要路径。另一方面，从学科核心素养的视角进一步印证了数学的眼光就是能够用运动、联系、变化的观点研究现实世界的数量关系与空间形式，其本质就是“建立联系”的眼光，换言之，是基于数学结构和体系的整体观。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》在总目标中也强调：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题、分析和解决问题的能力”，并且在教学建议中进一步提出“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点’与‘延伸点’，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性”[2]。

无论《高中数学课程标准(2017年版)》的数学核心素养界定，还是《义务教育数学课程标准(2011年版)》的课程目标与教学要求，都充分表明数学眼光的本质就是学会从数量与数量之间、图形与图形之间、数量与图形之间的联系去研究客观世界的数量关系与空间形式，并以上述三个关系为关键路径，发现和提出问题、分析与解决问题，从中通过数学抽象、逻辑推理、数学建模等思想方法再发现和再建构数学概念、原理等数学知识的结构和体系，发展数学的整体观。

(三)基于数学教学内容的视角

数学作为研究数量关系与空间形式的科学，具体表现为由数学概念与数学命题组成的逻辑体系。逻辑就是要求讲清楚因果关系、先后关系。具体而言，概念必须用前此概念定义，命题必须用已知证明为真的命题(即数学原理)证明。课堂教学中主要表现为基于问题发现的概念教学、原理教学和问题解决活动的教学，其实质是对于研究对象所蕴含的数与数、形与形、数与形之间关系的揭示与抽象。因此在数学教学中必然要探究新概念与已有概念之间、新命题与已有原理之间的关系，从中帮助学生建构数学概念网络或者数学命题体系，进而形成和发展数学的整体观。

从数学概念体系的形成与发展过程来看，“概念是知识组成的基本单位、是思维的载体”“数学概念是反映数学对象本质属性的思维形式，是对一类事物的概括和表征”[3]，其本质是对于数学对象的分类。特别地，概念之间的关系在逻辑学上是指概念外延之间的关系，具体可以依据二者之间是否具有公共元素划分为相容关系或不相容关系。其中，根据两个概念外延集的重叠度，相容关系又分为同一关系、属种关系和交叉关系；根据两个概念的外延集与其同一属概念的外延集的重叠度，不相容关系又分为矛盾关系和反对关系。而概念之间“关系”的眼光最为重要的就是概念之间属种关系的眼光。例如函数、奇偶函数是属种关系，周期函数、奇偶函数是交叉关系，单调函数、周期函数是反对关系等等。

从数学命题的含义与结构来说，命题是表示判断的语句，其本质是揭示不同数学对象即数学概念之间的内在联系。例如对角线互相平分的四边形是平行四边形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形等等。特别地，命题构造中根据不同逻辑连接词把两个或两个以上简单命题组成负命题、合取命题、析取命题、蕴涵命题和等价命题这五种基本复合命题。其中对于蕴涵命题的条件和结论进行换“位”或者换“质”可获得数学中最为基本的四种命题：原命题、逆命题、否命题和逆否命题。从命题的含义结构、数学命题的四种基本形式以及数学命题的证明都无一例外地表明，数学命题的教学从某种意义上说就是揭示新命题与已有原理(包括相关已有概念)之间是否存在等价或推出等关系。正如梅森(Mason)在第八届国际数学教育研究大会(ICME-8)上指出的“我们需要教会学生如何将自己所理解的数学知识联系起来，并且能够灵活运用其中的关系”[4]。

以上清楚地表明，从数学教学来看，数学眼光就是应用已知概念或已证为真的命题解决新问题、获得新概念或者新原理，亦即揭示与建立新旧数学对象之间联系的眼光。

三、核心素养视域下发展学生数学眼光的教学策略

核心素养视域下的数学教学不仅仅是让学生获得必要的知识和技能，更重要的是让学生学会用数学眼光去观察世界，学会用数学的思维分析和解决问题。从数学的内涵界定、数学核心素养和数学教学内容三个维度对于数学概念和原理的逻辑性、结构性和系统性特点的分析启示我们，数学新授课中发展学生的数学眼光需要构建基于建立联系的结构化教学策略。

(一)注重温故复习、铺设思维台阶，引领学生感悟已知知识和未知对象之间的联系

孔子曰“温故而知新，可以为师矣”，乌申斯基认为“复习是学习之母”。奥苏贝尔有意义学习理论则进一步指出，当学习者已有认知结构具备了适当的观念，才足够使新旧知识以非人为、实质性方式联系起来，才能更好地接纳新知识，并指出“影响学习的唯一的、最重要的因素是学生已经知道了什么。要根据学生已有的知识教学”[5]。从方法论来看，不怕不识货就怕货比货、有比较才有鉴别。前述教育学、认知心理学和方法论的视角殊途同归都启示我们，在概念和原理新授课教学设计中培养学生用数学眼光观察世界的能力，首要任务和环节是要厘清和唤醒学生已有的相关知识，为辨析新旧对象的区别与联系、建构新知识，搭建好认知的脚手架，铺设好思维的台阶。而关于数学概念、命题形成与发展的规律阐述则表明，学生学习数学新概念、新命题具备的已有知识就是相关的前此概念和相关的已知原理。

例如，映射及其三要素和初中变量说意义下的函数概念是学习高中函数知识的基础，在高中函数概念新授课的教学设计中，需要温故复习，初中学习过哪些函数？函数涉及几个变量？什么是映射？映射有哪些要素？y=1是函数吗？旨在为理解基于变量说的初中函数概念的局限性和后续引入实数集上的映射的可行性搭建好认知的脚手架和思维的台阶。又如空间线面垂直、面面垂直等概念，是有效组织空间线面垂直、面面垂直等性质定理教学的必要前提。而空间线面垂直或面面垂直等判定定理则是通过探究相应的性质定理的逆命题而发现，因此复习和唤醒诸如空间线面垂直或面面垂直等概念及其性质，是有效组织空间线面垂直或面面垂直等判定定理教学的必要前提。实践证明，通过温故复习唤醒学生认知结构中学习新知识所需要的相关知识，引导学生感悟已有数学认知结构中相关知识与新对象之间的区别与联系，是建构新概念、获得新命题及拓展相应知识网络体系，发展学生学会用运动、联系、发展的观点看问题，建立数学整体观的优质而高效的教学策略，具有磨刀不误砍柴工、事半功倍之效。

(二)创设问题情境、激发认知需求，助力学生体会数学与其他学科、与生活的联系

《高中数学课程标准(2017年版)》指出：“数学教学以发展学生的数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情景，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质……不断引领学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值”[1]3。因此数学新授课在复习回顾之后，新知导入环节要加强对问题提出的情景创设，加强对教科书编写意图的理解，注重应用教科书中创设的数学与其他学科、与生活关联的现实情境或科学情境导入问题，以激发学生的认知需求，感知问题情境中蕴含的新对象、新知识，引导学生从现实情境、科学情境或学科背景等不同视角去发现和提出问题，感悟数学与外部世界的联系，引导学生厘清新旧对象的区别，学会用数学的眼光观察世界，提升学生应用数学分析与解决实际问题的能力，发展学生的数学抽象、数学建模等学科素养。例如高中函数概念新授课的教学设计中，在复习初中函数概念、映射及其三要素的基础上，进一步导入教科书中南极臭氧层空洞的面积近20年变化情况的曲线、恩格尔系数随时间变化情况的表格、炮弹发射后的飞行高度随时间变化规律的解析式，提出问题：他们是映射吗？有哪些共同特征？以启发学生用集合与映射的思想方法去观察与描述集合之间的对应关系，发现与概括其共同不变的本质属性，抽象出函数的概念及其三要素。由此引领学生感悟与体验数学与生活、函数与物理之间的联系，发展学生学会用“联系”的眼光观察世界、学会用数学的思维分析与解决问题。

(三)问题驱动、设问启发，引导学生比较辨析新旧知识之间的区别与联系

问题是数学的心脏，也是思维的起点，是孕育和产生数学新概念与数学新命题，培养和提升学生数学抽象素养的土壤。正如布鲁纳指出“教学过程是一种提出问题和解决问题的持续不断的活动，思维永远是从问题开始的”[6]。但是，现行中小学数学课堂教学中，一言堂、满堂灌，新知建构一蹴而就、几分钟搞定，急于题海战术、大运动量练习的传统做法依然惯性很大，这既不利于课标所强调的过程与方法目标的达成，也不利于学生学会用数学眼光观察世界、学会用数学的思维分析世界、学会用数学的语言表达世界等核心素养的发展。事实上，数学新授课包含的知识点往往不唯一，而不同知识点之间的衔接过渡及其因果内在逻辑关系常常是学生学习与理解的难点，这些难点在一言堂、满堂灌的教学中往往被教师越俎代庖，甚至忽略跳过，学生不仅错失了学会用数学思维发现和提出问题、分析与解决问题的机会，而且缺失了与同伴互助、思维碰撞进行数学发现和创造的乐趣。

因此，数学新授课中，尤其在概念建构和原理发现教学环节，需要设计分层次、成系列的问题链，实施问题驱动的启发式教学，旨在引领学生探究并且厘清新旧知识以及不同新知识之间的内在逻辑关系、突破教学的难点。例如高中空间中直线与平面的位置关系课题，研究重点是平行与垂直的关系。而无论是直线与平面的平行或垂直等课题，都既包括概念建构又包括性质定理与判定定理三个知识点，并且最终都转化为直线与所研究平面上的若干直线之间相应的关系。以直线与平面的垂直关系课题为例，概念建构、性质定理与判定定理三个知识点中，普遍的教学难点是直线与平面垂直判定定理的教学。要突破这一难点，可通过设计分层次的问题串：如何判断一条空间直线与已知平面垂直？依据概念能否判断一条直线与已知平面垂直？确定平面的要素有哪些……并运用实验、观察、分析、比较、归纳等思想方法，有序有效地引导学生层层递进、探究发现：依据空间直线与平面垂直的概念进行判断，需要证明直线与平面上的所有直线即无穷多的直线都垂直，而这将陷入有限的人生面对无限多的直线的矛盾冲突与山重水复疑无路的抓狂状态。但是追根溯源，依据两条相交直线确定一个平面的原理，可以顺藤摸瓜、惊喜发现证明直线与平面上的所有直线都垂直这一教学难点，竟然柳暗花明、一锤定音可以转化为证明已知直线与同一平面上两条相交直线垂直。亦即在有限的时间内解决了直线与平面上的所有直线即无穷多的直线都垂直这一看似不可能完成的无限的任务，引领学生基于直线与平面垂直的概念、性质定理和判定定理之间的联系进行整体把握、融会贯通，体验数学思想方法帮助我们化无限对象的复杂问题为有限对象的简单问题去解决，从中深刻领悟数学思想方法的科学价值、应用价值、审美价值。

(四)精选例习题、学以致用，发展学生学会用数学的思维分析和解决问题的能力

学以致用环节的例题与习题的教学目标，旨在拓展学生对所获得数学概念与原理的理解，学会用运动、联系和变化的观点以及新建构的概念或者新获得的原理去研究和解决具体问题中的数量关系与空间形式，进而发展分析与解决问题的能力。因此精心选择例题与习题，力求举例丰富、样本全面，加强问题的针对性、层次性和系统性是关键。例如高中函数教学在建构了概念后，可以分别从解析式、图像等不同角度，通过形变质不变让学生辨别其是否为函数和是否为同一个函数。如设计问题“y=2x2,x∈R”与函数“x=2y2,y∈R”以及“n=2m2,m∈R”，它们表示同一个函数吗？或者设置形同质不同的问题(如定义域不同)，让学生辨析是否为相同函数，深化学生对函数本质以及要素、结构的理解[7]。又如在偶函数的概念教学中，则可创设“f(x)=2(x-1)2，f(x)=2x2(x∈[-2,2))，f(x)=x3”是否为偶函数的问题，引领学生在判断的过程中深化对偶函数概念本质属性“对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)”的认识。后续奇偶函数课题的概念教学，则在概念建构环节之后，可以设计以下包含四个不同样本类型函数的例题教学，通过判断它们的奇偶性，f(x)=x4,f(x)=x3,f(x)=x2(x∈[-10,9]),f(x)=0，引导学生深刻理解奇、偶函数的定义域关于原点对称和对应规律要求等两个本质属性的异同点，进而发现还存在非奇非偶函数和既奇又偶的函数，从中感悟函数奇偶性概念之间的区别与联系，深化和拓展学生对于函数奇偶性概念的理解和掌握。

(五)注重归纳、突出方法，帮助学生建立数学的结构和体系

《高中数学课程标准(2017年版)》在实施建议中强调“数学教师必须提升自己的‘四基’水平，自觉养成用数学的眼光发现和提出问题，用数学思维分析和解决问题，用数学语言表达和交流问题的习惯……理解知识之间的关联”[1]97。数学知识结构具有严密的逻辑性和完备的系统性，为了帮助学生发展数学的眼光、建立数学的整体观，教师在数学新授课的课堂小结环节要注重帮助学生梳理和建构层次分明的知识网络结构。教学中可以根据新旧概念之间的关系(如从属、交叉、矛盾、反对等关系)和命题之间的关系(如逆否、等价关系等)，运用列表法、逻辑框图、思维导图等形式强化知识之间联系的理解和掌握，并引导学生注重归纳和凸显建构新知识的思想与方法，长此以往、坚持不懈，师生合作逐步建立起层次分明、因果清晰、纵横联系的网络结构，发展和建立数学的整体观。

四、 结论与思考

以上从数学的内涵界定、数学核心素养和数学新授课教学内容三个维度的研究表明，数学眼光是用运动、联系和变化的观点研究数量关系与空间形式，进行数学抽象获得数学概念或原理，进而学以致用分析与解决问题的眼光，其本质是“建立联系”的眼光。课堂教学中主要表现为基于问题提出的概念教学、原理教学和问题解决活动的教学，其本质是对于研究对象蕴含的数与数、形与形、数与形之间关系的揭示与抽象。学会用数学的眼光看世界，对教师而言，关键在于数学新授课教学设计中要精准抓住数学新知建构的 “生长点”与“延伸点”，从而突破教学的难点，辨析和揭示新旧知识的联系与区别，凸显建构新知识的思想与方法。对学生而言，学会用数学的眼光观察世界则有助于厘清知识之间的区别和联系，深刻理解数学知识的来龙去脉，提升对数学的整体把握和宏观认识。数学新授课中发展学生数学眼光需要基于建立联系的结构化教学策略；通过发展教师的数学眼光来提升课堂教学设计与组织的质量和效益，是发展学生数学眼光、培养数学素养的必由之路。