浅谈直角三角形射影定理

胡军

【摘要】本文从切割线定理和相交弦定理的概念出发，指出通过相似三角形证明直角三角形射影定理的局限性，并提出从切割线定理和相交弦定理的运动的角度来研究直角三角形射影定理.本文指出直角三角形射影定理是切割线定理的特殊形式或是相交弦定理的特殊形式结合垂径定理的转化.进一步论述了直角三角形一定满足直角三角形射影定理，但是满足直角三角形射影定理的三角形不一定是直角三角形.

【关键词】切割线定理;相交弦定理;直角三角形射影定理

直角三角形射影定理虽然可以通过相似三角形证明而得，但是如果我们单纯从直角三角形射影定理来看，感觉几个公式不好记，有时反而容易搞混淆.经查阅，也没有以切割线定理和相交弦定理的运动的角度来研究直角三角形射影定理的相关资料.诚然，在学了切割线定理和相交弦定理之后，再从切割线定理和相交弦定理的角度来研究直角三角形射影定理，会给我们一种“众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处”的感觉，也让我们对知识的链接有了更清晰的脉络.

一、从切割线定理来谈直角三角形射影定理

1.如图1所示，AC是⊙O的切线，AB是⊙O的割线，与⊙O交于点D，则AC2=AD·AB.

如图2所示，AC是⊙O的切线，AB是⊙O的割线，当B，O，C共线时，连接BC和CD，易证△ABC，△BCD和△ACD是直角三角形.此时的切割线定理AC2=AD·AB是直角三角形射影定理中的一条.

二、从相交弦定理来谈直角三角形射影定理

1.如图3所示，AB，CE为⊙O的两条弦，交于⊙O的内部，则CD·DE=AD·BD.

如图4所示，AB，CE是⊙O的两条弦，AB与CE交于⊙O的内部，当AB运动到过圆心O，CE运动到与AB垂直时，垂足为D，易证△ABC，△BCD和△ACD是直角三角形.结合垂径定理，易得CD=DE，此时的CD2=AD·BD是直角三角形射影定理中的另一条.

三、直角三角形射影定理

1.如图5所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则有射影定理如下：① BC2=BD·BA;② AC2=AD·AB;③ CD2=AD·BD.

综上所述，直角三角形射影定理前两个公式是切割线定理的特殊形式，后一个公式是相交弦定理的特殊形式结合垂径定理的转化.同时也让我们从另一个新的角度去理解直角三角形射影定理，在运用过程中得心应手.当然从切割线定理和相交弦定理来谈直角三角形射影定理，也充分说明了直角三角形一定满足直角三角形射影定理，但是滿足直角三角形射影定理的三角形不一定是直角三角形.

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