整体思想在解题中的应用

王蕾

【摘要】高中数学教学往往侧重于学习方法和技巧的引导，有一些问题从正面看比较复杂，面对不同的问题能够运用不同的方法求解，从而达到举一反三的效果.其中整体思想具有一定的灵活性，如果能熟练掌握便可以避免“一叶障目，不见泰山”的情形，并且解题效率也会大为提高.本文通过对一些经典例题的解析说明整体思想在高中数学解题中的具体应用并给出一定的方法技巧，使得运用整体思想在解决有关数列、解析几何和函数等问题中更为方便.

【关键词】整体思想;解题;实践应用

整体思想是最本质的数学思想之一，熟练掌握整体思想，能够根据题目所给条件迅速抓住主干，并根据要求巧妙转化等式，将复杂、不规范的问题转化成通俗易懂的语言，化繁为简，从而开阔思路，提高解题效率.下面结合例题说明如何运用整体思想解决问题.

一、数列问题中整体思想的运用

例1 在数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1=32，a2=2且Sn+1-3Sn+2Sn-1+1=0（n≥2），试判断{an-1}（n∈N*）是否为等比数列？

根据题目所给条件，如果先求出Sn+1，Sn，Sn-1再判断数列{an-1}是否为等比数列，计算量大并且容易出错;但若是从题目所给等式着手，用整体代换思想，将研究对象简单化，反倒更易进行判断.

解 原式可化为（Sn+1-Sn）-2（Sn-Sn-1）+1=0.（1）

当n=1时，a2-1=1=2（a1-1）;

当n≥2时，由an+1=Sn+1-Sn，an=Sn-Sn-1，

可得an+1-2an+1=0，

即an+1-1=2（an-1），

所以an+1-1an-1=2（n≥2）.（2）

则可得（2）式对n∈N*成立.

综上所述，{an-1}（n∈N*）是等比数列.

说明：（1）式这一步体现了局部→组合;（2）式这一步体现了整体代换思想.

整体代换：将有关联的子式通过一定的变形后作为一个整体，代入到另一个式子中，从而减少无法确定的变量，即局部→组合→整体→局部，简化解题过程，得出结果.

二、几何问题中整体思想的运用

例2 如图1所示：△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5，则该几何体的体积是多少？

首先，题目所给几何体为非规则几何体，通过观察，易想到运用分割法解题，即将几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥进行求解;但若通过补形法，可将几何体补成一个直三棱柱，直接进行计算.

解 通过整体补形，将原几何体补成的直三棱柱，满足AA′=BB′=CC′=8，具体如图2所示.

记直三棱柱ABC-EDF的体积为VABC-EDF，直三棱柱ABC-A′B′C′的体积为VABC-A′B′C′，

VABC-EDF=12VABC-A′B′C′=12×8×8×6×12=96.

说明：求解某些几何体的表面积或体积问题，对于一些不规则几何体若直接计算求解往往会显得过于烦琐，所以针对这类题型，通常运用补形法.首先通过补形将不规则图形填补完整，再根据一般求解几何体的方法求解表面积或体积等.

补形法的应用条件：当所给空间几何体直接计算求解较为烦琐且通过观察可以延伸为常见的规则图形时，通常运用整体补形法.

三、代数问题中整体思想的运用

例3 已知a，b为两个不相等的实数，满足2a2=5-3a，2b2=5-3b，求ba2+ab2的值.

这道题的常规思想方法是求出a，b的值然后代入求解，最后得出结果，但这种方法在计算时需进行分类讨论且计算过程较为烦琐;如果单看ba2+ab2式，将其合并观察，易发现该式主要是a+b，ab的组合，所以只需运用题目所给条件计算出a+b，ab的值，即可得出答案.该题的关键在于需构造出满足条件与结论的一元二次方程.

解 由2a2=5-3a，2b2=5-3b 可知，a，b為方程2x2+3x-5=0的两个不相等的实根，根据韦达定理可得，

a+b=-32，ab=-52，

原式可化为ba2+ab2=b3+a3（ab）2=（a+b）（a2-ab+b2）（ab）2=（a+b）[（a+b）2-3ab]（ab）2=-11750.

四、函数问题中整体思想的运用

例4 已知f（x）=12lg（x+1），g（x）=lg（2x+t），且当x∈[0，1]时，f（x）≤g（x）恒成立，求t的取值范围.

这是一个含有参数的不等式恒成立问题，常规方法就是借助图像分类讨论，但是过程略微复杂且易错.由于该题给出了特定范围，若在求导后运用整体思想得出一个新函数，并根据单调性求出函数的最大或最小值，t的范围就可以迎刃而解了.

解 由f（x）≤g（x）在[0，1]上恒成立，

即x+1-2x-t≤0在[0，1]上恒成立.

此时令F（x）=x+1-2x-t≤0，（1）

即F′（x）=12x+1-2=1-4x+12x+1.

又x∈[0，1]，所以F′（x）<0，

即F（x）在[0，1]上单调递减，（2）

故F（x）≤0在[0，1]上恒成立，

可得F（0）=1-t≤0.（3）

解之可得t≥1.

说明：（1）式是将x+1-2x-t≤0看作一个整体，再整体求导;

（2）这一步通过观察可知函数F（x）在[0，1]上单调递减，在[0，1]上F（0）为最大值;

（3）这一步通过取特殊点、特殊值，巧妙转化不等式，向已知条件靠拢.

五、总 结

根据以上四个例子，可以得出，在运用整体思想解题时，首先应根据题目所给出的局部问题，放大视角，找出问题的主线.然后根据给定条件逐个分析，从整体的角度考虑，找出对应的解题方法，将烦琐的问题灵活转换.最后回归局部，转化分解得出结论.故而将整体思想的解题过程总结如下：

整体思想在数量关系、解析几何、函数、导数等题型中都有所体现，当面对抽象复杂的数学问题时，如果能够熟练运用整体思想方法，从问题的整体结构上考虑问题，那么繁冗的数学问题便可迎刃而解.所以，在碰到相关难题时应该充分考虑整体、转换思想，这样有助于理清解题思路，快速找到解题的突破口，从而在考试中提高解题效率.

【参考文献】

[1]吴依妹.数学思想在高中数学解题中的应用[J].考试周刊，2013（62）：59-60.

[2]张庆贤.高中数学解题中整体思想的合理运用[J].学园，2014（6）：148+200.

[3]陈明娟.例说整体思想在解题中的应用[J].福建中学数学，2010（7）：44-45.